Мария Владимировна Ткачева , Надежда Евгеньевна Фёдорова , Михаил Иванович Шабунин , Ольга Николаевна Доброва - Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс: углубленный уровень

делится на
30, если:
1) a = 6n5 + 45n4 + 10n3 – n;
2) a = 6n5 + 15n4 + 40n3 – n.

§ 3.

Признаки делимости

Примеры с решениями
1. Доказать, что число a = 1070 – 824 делится на 9.
Р е ш е н и е. Запишем число a в виде a = 1070 – 1 –
– (824 – 1). Так как число 1070 – 1 состоит из одних девяток, а 824 – 1 = 81 ⭈ m, где m  N, то число a делится на 9.
2. Доказать, что число a = 147610 + 38259 делится на 9.
Р е ш е н и е. Так как сумма цифр каждого из чисел
1476 и 3825 делится на 9, то и сами эти числа делятся
на 9, поэтому число a делится на 9.
8

3. Выяснить, делится ли на 8 число a = 2 + 22 + 23 +
...
+ + 220.
Р е ш е н и е. Числа 2k, где k  N, k  3, делятся на 8, а
сумма 2 + 22 = 6 не делится на 8. Следовательно, число a
не делится на 8.
4. Выяснить, делится ли на 11 число a = 1070 + 9876547.
Р е ш е н и е. Запишем число a в виде a = 1070 – 1 +
+ 9876548. Так как число 1070 – 1 состоит из четного числа девяток, то оно делится на 11. Число 9876548 также
делится на 11, так как число 9 – 8 + 7 – 6 + 5 – 4 + 8 = 11 делится на 11 (признак делимости на 11). Следовательно,
a делится на 11.

Задания для самостоятельной работы
1. 3 Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 1 + 2 + ... + 97 + 98, m = 147;
2) a = 1 + 2 + ... + 76 + 77, m = 273.
2. 4 Доказать, что число a делится на 5, если:
2) a = 47 + 26.
1) a = 49 + 1;
3. 3 Выяснить, делится ли на 8 число a, если:
1) a = 12345678;
2) a = 345678910.
4. 4 Выяснить, делится ли на 37 число a, если:
1) a = 3335552 + 2224443;
2) a = 7776664 + 8883335.
5. 5 Выяснить, делится ли на 11 число a, если:
2) a = 1018 + 9561001.
1) a = 1016 + 964116;

§ 4.

Cравнения

Примеры с решениями
1. Найти все целые числа x, такие, что x  3 (mod 7)
и x  [– 15; 20].
Р е ш е н и е. Искомые числа принадлежат множеству
чисел вида x = 3 + 7k, k  Z. Из них отрезку [– 15; 20]
принадлежат числа – 11, – 4, 3, 10, 17.
2. Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 4 ⭈ 3519 + 13 ⭈ 5215, m = 17;
2) a = 3 ⭈ 525 + 47 ⭈ 96, m = 19;
3) a = 5 ⭈ 7243 + 16132 + 3430, m = 10.
Р е ш е н и е. 1) Так как 35  1 (mod 17), 52  1 (mod 17),
то a  4 + 13 (mod 17), т. е. a делится на 17.
9

2) Пользуясь тем, что 25  6 (mod 19), 47 ⭈ 96 = 4 ⭈ 612,
525  5 ⭈ 612 (mod 19), имеем a  15 ⭈ 612 + 4 ⭈ 612  0 (mod 19),
т. е. a делится на 19.
3) Так как 7243  73  3 (mod 10), 16132  6 (mod 10),
3430  32 (mod 10), то a  5 ⭈ 3 + 6 + 9  0 (mod 10), т. е. a
делится на 10.
3. Найти остаток от деления числа a = 2425 + 5037 на 17.
Р е ш е н и е. Так как 2425 = 2 ⭈ 16106, 16  – 1 (mod 17),
50  – 1 (mod 17), то a  2 – 1 (mod 17), т. е. остаток от
деления числа a на 17 равен 1.
4. Найти остаток от деления числа 6192 на 17.
Р е ш е н и е. Так как 6192 = 3696, 36  2 (mod 17), то
192
6  296 (mod 17).
Но
16  – 1 (mod 17),
296 = 1624,
1624  (– 1)24 (mod 16), откуда следует, что 6192  1 (mod 17),
т. е. остаток от деления числа 6192 на 17 равен 1.

Задания для самостоятельной работы
1. 4 Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 5 ⭈ 251 + 21 ⭈ 3245, m = 31;
2) a = 461 + 27 ⭈ 3277, m = 31.
2. 5 Найти остаток от деления числа a на m, если:
1) a = 3 ⭈ 273 + 9 ⭈ 1629, m = 17;
2) a = 5 ⭈ 431 + 7 ⭈ 1837, m = 17.
3. 6 Найти остаток от деления числа a на m, если:
1) a = 15254, m = 17; 2) a = 12316, m = 19.

§ 5.

Решение уравнений в целых числах

Примеры с решениями
1. Найти все целочисленные решения уравнения:
1) 10x + 21y = 1; 2) 45x + 21y = 8.
Р е ш е н и е. 1) Числа 10 и 21 взаимно просты, а пара
чисел (– 2; 1) является решением этого уравнения. Тогда
(глава II, § 5 учебника) все целочисленные решения
этого уравнения задаются формулами
x = – 2 + 21t, y = 1 – 10t, t  Z.
2) Так как коэффициенты 45, 21 и 8 уравнения не
имеют общего делителя, отличного от единицы, а наибольший общий делитель чисел 45 и 21 равен 3 (эти числа не являются взаимно простыми), то данное уравнение
не имеет целочисленных решений.
10

2. Найти целочисленные решения уравнения
x2 = 12y + 5.
Р е ш е н и е. Если x делится на 3, то x2 – 12y делится
на 3 при любом y  Z, а число 5 не делится на 3. Если x
не делится на 3, то остаток от деления x2 на 3 равен 1,
а остаток от деления правой части уравнения на 3 равен 2.
Следовательно, уравнение не имеет целочисленных
решений.
3. Доказать, что уравнение x2 – 2y2 = 204 не имеет
целочисленных решений.
Р е ш е н и е. Если числа x и y делятся на 3, то левая
часть уравнения делится на 9, а правая нет.
Если только одно из чисел делится на 3, то левая
часть уравнения не делится на 3, а правая часть делится
на 3.
Если оба числа x и y не делятся на 3, то левая часть
не делится на 3, так как в этом случае остаток от деления x2 и y2 на 3 равен 1. И в этом случае нет целочисленных решений.
4. Найти целочисленные решения уравнения
3x2 – 8xy – 16y2 = 19.
Р е ш е н и е. Разложив левую часть уравнения на множители (способом группировки либо с помощью решения
квадратного уравнения относительно x или y), запишем
уравнение в виде (3x + 4y) (x – 4y) = 19.
Так как делителями числа 19 являются --">