Мария Владимировна Ткачева , Надежда Евгеньевна Фёдорова , Михаил Иванович Шабунин , Ольга Николаевна Доброва - Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс: углубленный уровень

17;
2) a = 203 + 584 + 772 + 16, m = 19.
5

2. 4 Доказать, что при любых натуральных m и n число
a делится на p, если:
1) a = (5m + 7n + 3)6 (3m + 9n + 2)5, p = 32;
2) a = (3m + 5n + 1)7 (5m + 9n + 2)6, p = 64.
3. 5 Пусть a, b — целые числа. Доказать, что если число
c делится на m, то и число d делится на m, если:
1) с = 5a + 3b, m = 7, d = 9a + 4b;
2) c = 5a + 3b, d = 7a + 2b, m = 11.
4. 6 Доказать, что ни при каких n  N число a не является квадратом натурального числа, если:
1) a = n2 + 3n + 2;
2) a = n2 + 5n + 4.

§ 2.

Деление с остатком

Примеры с решениями
1. При делении числа 1270 на некоторое натуральное
число m частное оказалось равным 74. Найти m и r, где
r — остаток от деления.
Р е ш е н и е. По определению деления справедливо равенство 1270 = 74m + r, которое можно рассматривать как
запись результата деления числа 1270 на 74.
Разделив уголком 1270 на 74, получим частное m = 17
и остаток r = 12.
2. Найти все целые числа, которые при делении на 9
дают остаток 5, а при делении на 15 дают остаток 4.
Р е ш е н и е. Пусть x — искомое целое число, тогда
x = 9m + 5, x = 15n + 4, где m  Z, n  Z, откуда 9m + 5 =
= 15n + 4, т. е. 15n – 9m = 1. Полученное равенство не является верным ни при каких целых n и m, так как его
левая часть делится на 3, а правая нет.
3. Доказать, что при любом n  N число p = n3 + 20n +
+ 105 + 2 делится на 3.
Р е ш е н и е. Число a = 105 – 1 + 3 делится на 3 (можно
воспользоваться также тем, что сумма цифр числа
105 + 2, равная трем, делится на 3).
При n = 1 число b = n3 + 20n делится на 3. Покажем,
что при любом n  N, n > 1, число b делится на 3, представив его в виде b = n3 – n + 21n. Так как c = n3 – n =
= (n – 1) n (n + 1) — произведение трех последовательных
натуральных чисел, из которых одно делится на 3, то c
делится на 3, откуда b = c + 21n делится на 3, тогда и
число p = a + b делится на 3.
6

4. Доказать, что при любом n  N число a = 6n5 +
4
15n
+ 10n3 – n делится на 30.
+
Р е ш е н и е. Нужно доказать, что a делится на 2, 3 и 5.
а) Если n — четное число, то a делится на 2, а если
n — нечетное число, то a также делится на 2, так как
15n4 – n д е л и т с я на 2 (сумма двух нечетных чисел).
б) Так как 6n5 + 15n4 + 9n3 = b делится на 3,
a = b + n3 – n, где n3 – n = c — число, делящееся на 3 (пример 3), то a = b + c д е л и т с я на 3.
в) Заметим, что число 5n5 + 15n4 + 10n3 делится на 5.
Поэтому a делится на 5 тогда и только тогда, когда
число d = n5 – n делится на 5.
Если n делится на 5, то и d делится на 5. Пусть n
не делится на 5. Тогда n = 5p  1 или n = 5q  2, где p  N,
q  N. Так как d = n (n2 – 1) (n2 + 1), то при n = 5p  1 число
n2 – 1 делится на 5, а при n = 5q  2 число n2 + 1 делится
на 5. Следовательно, d делится на 5 при любом n  N.
5. Найти остаток от деления числа a = 2187 + 374 + 7257
на 10.
Р е ш е н и е. Задачу можно сформулировать так: найти последнюю цифру числа a.
В главе II учебника (§ 2, задача 5) было установлено, что последние цифры чисел 2k, 3k, 7k повторяются через 4. Это означает, что если k = 4p + r, p  N, r — остаток
от деления k на 4 (r = 1, 2, 3), то последние цифры чисел 2k, 3k, 7k такие же, как у чисел 2r, 3r, 7r, а если r = 0
(k делится на 4), то последние цифры чисел 2k, 3k, 7k
такие же, как у чисел 24, 34, 74.
Так как остатки от деления на 4 чисел 187, 74 и 257
равны соответственно 3, 2 и 1, то последние цифры
чисел 2187, 374 и 7257 равны последним цифрам чисел 23,
32 и 71, т. е. это цифры 8, 9 и 7, а последняя цифра
числа a — последняя цифра суммы 8 + 9 + 7, т. е. это цифра 4. Следовательно, остаток от деления числа a на 10
равен 4.
6. Найти все значения n  Z, при которых является
5

n +3
целым число a = ᎏ
.
2
n +1

Р е ш е н и е. Преобразуем a, используя равенство
n+3
,
n + 3 = n5 + n3 – (n3 + n) + n + 3. Получим a = n3 – n + ᎏ
2
5

n +1

откуда следует, что a — целое число тогда и только тогn+3
да, когда дробь b = ᎏ
— целое число. Этому условию
n2 + 1
удовлетворяют значения n, равные – 3, – 1, 0, 1, 2.
7

Задания для самостоятельной работы
1. 4 Найти все целые числа, которые при делении
и n дают остатки, соответственно равные r1
если:
1) m = 12, n = 33, r1 = 7, r2 = 8;
2) m = 15, n = 24, r1 = 8, r2 = 9.
2. 5 Доказать, что при любом n  Z число a делится
если:
1) a = 4n3 + 17n + 105 + 5;
2) a = 7n3 + 32n + 104 + 8.
3. 4 Найти все значения n  Z, при которых число
ляется целым, если:
4

n +8
1) a = ᎏ
;
2
n +2

на m
и r2,

на 3,

a яв-

4

n +7
2) a = ᎏ
.
2
n +2

4. 4 Найти остаток от деления на 10 числа a, если:
2) a = 2479 + 3530 + 7374.
1) a = 2383 + 3427 + 7214;
5. 4 Пусть целые числа x и y не делятся на 3. Доказать,
что число a делится на 3, если:
2) a = x4 + y4 + 1.
1) a = x4 – y4;
6. 4 Найти все такие целые числа x и y, чтобы при любом n  N число a было целым, если:
1) a =

n3 + nx + y
ᎏᎏ
;
n2 + 1

2) a =

n3 + n (x – 1) + y
ᎏᎏ
.
n2 + 1

7. 6 Доказать, что при любом n  N число a --">