Мария Владимировна Ткачева , Надежда Евгеньевна Фёдорова , Михаил Иванович Шабунин , Ольга Николаевна Доброва - Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс: углубленный уровень

УДК 372.8:[512 + 517]
ББК 74.262.21
А45

А в т о р ы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва,
Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Алгебра и начала математического анализа.
А45 Дидактические материалы. 10 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва].— 4-е изд.— М. : Просвещение,
2012.— 142 с. : ил.— ISBN 978-5-09-029513-0.
Книга содержит материалы к каждой теме курса алгебры и
начал математического анализа для 10 класса углублённого уровня и дополняет систему упражнений учебника и дидактические
материалы тех же авторов, предназначенные для базового уровня. Каждая глава содержит примеры и задачи с подробными решениями, задания для самостоятельной работы, контрольные работы и ответы к заданиям.
УДК 372.8:[512 + 517]
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-09-029513-0

© Издательство «Просвещение», 2008
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2008
Все права защищены

Предисловие
Cовременные cтандарты школьного образования
выделяют в содержании математического образования старших классов два уровня знаний — базовый
и углублённый. Учебник авторов Ю. М. Колягина и
др. «Алгебра и начала математического анализа»
для 10 класса под редакцией А. Б. Жижченко
(М.: Просвещение, 2008) создан для обучения в старшей школе на обоих уровнях.
Дидактические материалы дополняют систему
упражнений учебника на продвинутом базовом и на
углублённом уровнях. Дополнительные упражнения
для базового уровня и продвинутого базового можно
найти в пособии «Дидактические материалы по алгебре и началам математического анализа» для 10 класса общеобразовательных учреждений авторов М. И. Шабунина, М. В. Ткачёвой, Н. Е. Фёдоровой, Р. Г. Газаряна (М.: Просвещение, 2010).
Обе книги составляют единый комплект. Они объединены идеей широкого использования при дифференциации обучения — каждое задание снабжено условной балловой оценкой (от 1 до 10 очков), характеризующей его сложность. Используя балловую
оценку заданий, учитель может:
— организовать «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы каждому учащемуся предлагать конкретный
балловый диапазон выполняемых заданий, помогая
постепенно поднимать уровень своих математических
умений;
— предлагать учащимся разнообразные виды самостоятельных и проверочных работ, ориентируя их
на соответствие набираемых баллов одной из положительных оценок («3», «4» или «5»).
В обоих пособиях задания продвинутого базового
уровня в основном оценены баллами от 5 до 7, а
углублённого — от 8 до 10 баллов.
3

Каждая глава пособия содержит:
1) дидактические материалы к каждому параграфу учебника Ю. М. Колягина и др.;
2) контрольную работу по тематике главы в двух
вариантах.
Каждый параграф пособия включает:
1) примеры типовых задач с подробными решениями;
2) разноуровневые задания для самостоятельной работы (в двух вариантах), снабженные ответами в конце
книги.
Несмотря на то что содержание и структура данной книги соответствуют учебнику «Алгебра и начала математического анализа» авторов Ю. М. Колягина и др., ее можно с успехом использовать при работе с другими учебниками.

Глава

§ 1.

II

Делимость
чисел

Понятие делимости.
Делимость суммы и произведения

Примеры с решениями
1. Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 618 + 368, m = 37;
2) a = 324 – 911 + 277, m = 25.
Р е ш е н и е. 1) a = 618 + 616 = 616 (62 + 1) = 616 ⭈ 37;
2) a = 324 – 322 + 321 = 321 (27 – 3 + 1) = 321 ⭈ 25.
2. Доказать, что число a = 474 + 703 + 934 + 20 делится
на 23.
Р е ш е н и е. Для доказательства запишем число a в виде
a = (474 – 1) + (703 – 1) + (934 – 1) + 23
и воспользуемся формулой x4 – 1 = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) при
x = 24 и x = 93, а также формулой x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1)
при x = 70.
Так как числа 46, 69 и 92 делятся на 23, то и число a делится на 23.
3. Доказать, что число a = 108 + 10 делится на 11.
Р е ш е н и е. Запишем число a в виде a = 108 – 1 + 11 и
воспользуемся тем, что b = 108 – 1 — восьмизначное число, все цифры которого — девятки. Такое число делится
на 99, а значит, и на 11. Следовательно, a = b + 11 делится на 11.
4. Пусть a и b — такие целые числа, что число
c = 3a + 2b делится на 17. Доказать, что и число d = 10a + b
делится на 17.
Р е ш е н и е. Воспользуемся равенством 3 (10a + b) =
= 10 (3a + 2b) – 17b, откуда 3d = 10c – 17b.
Так как правая часть этого равенства, т. е. 10c – 17,
делится на 17, а 3 не делится на 17, то число d должно
делиться на 17.

Задания для самостоятельной работы
1. 4 Доказать, что число a делится на m, если:
1) a = 184 + 523 + 864 + 14, m = --">