А. А. Сапожников - Домашняя работа по алгебре и началам анализа за 11 класс к задачнику А.Г. Мордковича

x;

x2

б) y' = −

13 x 2
+
+C.
x
2
4
y = − − 2x 2 + C .
x

+x;

x2
4

5
x2

− cos x ;

6
;
2t + 1

x 13
− x8 + C .
13

y = − cos x + x + C .
y = sin x − 9 x + C .

б) y' = cos x − 9 ;
1008. а) y' =

y=

;

y=

9
− cos x + C.
x

y=

5
− sin x + C .
x

s( t ) = 6 2 t + 1 + C ;

s(0) = 6 + C = 3 ;

C = −3 ;

s( t ) = 6 2 t + 1 − 3 .
1011. a ( t ) = 2( t + 1) 2 ; υ( t ) =

2
2
1
( t + 1) 3 + C ; υ(0) = + C1 = 1 ; C1 = ;
3
3
3

2
1
1
1
1
5
( t + 1) 3 + ; s(t) = (t + 1) 4 + t + C2 ; s(0) = + C2 = 1 ; C2 = ;
6
3
6
6
3
3
1
1
5
s( t ) = ( t + 1) 4 + t + .
6
3
6
υ( t ) =

2
2
1012. а) f ( x ) = sin x + cos x = 1 ;

x
2

F( x ) = x + C .

x
2

F( x ) = − cos x + C .

б) f (x) = 2sin cos = sin x ;
в) f ( x ) = 1 + tg 2 x =

1

F( x ) = tgx + C .

;
cos 2 x
1
;
г) f ( x ) = 1 + ctg 2 x =
sin 2 x
x
x
1013. а) g(x) = 8sin cos = 4sin x;
2
2

F( x ) = −ctgx + C .
⎛π ⎞
M ⎜ ;3 ⎟ ;
⎝2 ⎠

G ( x ) = −4 cos x + C ; C = 3 ; G ( x ) = −4 cos x + 3 .
x
2

б) g(x) = 2cos 2 − 1 = cos x,
6

⎛π ⎞
M ⎜ ;16 ⎟ ;
⎝3
⎠

G ( x ) = sin x + C ; 16 =
x
2

в) g(x) = cos 2 − sin 2

3
3
3
+ C ; C = 16 −
; G ( x ) = sin x + 16 −
.
2
2
2

x
= cos x,
2

M ( 0;7 ) ;

G ( x ) = sin x + C ; 7 = 0 + C ; G ( x ) = sin x + 7 .

г) g(x) = 1 − 2sin 2

⎛π ⎞
M ⎜ ;15 ⎟ ;
⎝2 ⎠

x
= cos x,
2

G ( x ) = sin x + C ; 15 = 1 + C ; C = 14 ; G ( x ) = sin x + 14 .
1014. а)

б)

∫ (tg

∫ (cos
∫ (ctg

2

2

2

)

x + 1 dx = ∫

)

1
cos 2 x

dx = tgx + C .

x − sin 2 x dx = ∫ cos 2 x =

)

x + 1 dx = ∫

1
sin 2 x + C .
2

1

dx = −ctgx + C .
sin 2 x
1
1
г) ∫ sin x cos xdx = ∫ sin 2xdx = − cos 2 x + C .
2
4

в)

1
1
1
1015. а) ∫ sin 2x sin 6xdx= ∫ (cos 4x − cos8x)dx= − sin 4x − sin 8x+C *.
2
8
16
1
1
1
б) ∫ sin 4x cos3xdx = ∫ (sin 7x + sin x)dx = − cos x − cos 7x + C *.
2
2
14
1
1
1
в) ∫ cos3x cos5xdx= ∫ (cos8x+ cos 2x)dx= sin2x+ sin 8x + C.
2
4
16
1
1⎛1
1
⎞
г) ∫ sin 2x cos8xdx= ∫ (cos 6x − cos10x)dx= ⎜ sin 6x − sin10x ⎟ +C .
2
2⎝ 6
10
⎠

1
1
⎛1 1
⎞
1016. а) ∫ sin 2 xdx = ∫ ⎜ − cos 2x ⎟ dx = x − sin 2x + C .
2
4
⎝2 2
⎠
2
1
⎛1 1
⎞
⎛1 1
⎞
4
б) ∫ sin xdx= ∫ ⎜ − cos 2x ⎟ dx= ∫ ⎜ − cos 2x+ cos 2 2x ⎟dx =
2
2
4
2
4
⎝
⎠
⎝
⎠
1 1
1
1
1
1
⎛1 1
⎞
= ∫ ⎜ − cos 2x+ + cos 4x ⎟dx= x − sin 2x+ x+ sin 4x+C =
8 8
4
4
8 32
⎝4 2
⎠

=

3x 1
1
− sin 2 x +
sin 4 x + C .
8 4
32

1
1
⎛1 1
⎞
2
2
2
4
⎝
⎠
1 1
3x 1
1
⎛1 1
⎞
г) ∫ cos 4 xdx = ∫ ⎜ + cos 2x + + cos 4x ⎟dx = + sin 2x+ sin 4x+C .
8 8
8 4
32
⎝4 2
⎠

в) ∫ cos 2 xdx = ∫ ⎜ + cos 2x ⎟ dx = x + sin 2x + C .

7

1017. а) ∫

б) ∫

dx
2

2

sin x cos x

cos 2xdx
2

2

sin x cos x

=∫

=∫

sin 2 x+ cos 2 x

1 ⎞
⎛ 1
dx= ∫ ⎜
+ 2 ⎟ dx=tgx-ctgx+C .
2
sin x cos x
⎝ cos x sin x ⎠
2

cos 2 x − sin 2 x
sin 2 x cos 2 x

1018. а) f ( x ) = 2 x + 3 ;

2

1 ⎞
⎛ 1
dx = ∫ ⎜ 2 −
⎟ dx =-ctgx − tgx+C .
⎝ sin x cos 2 x ⎠

б) f (x) = 12 ( 3x − 1)3 ;

2

F(x) = x + 3x + C ;
f(x) = 0 ⇔ x = –3/2;
F(–3/2) = 9/4 – 9/2 + C = 0;
C = 9/4;
F(x) = x 2 + 3x + 9 / 4 .

F( x ) = (3x − 1)4 + C ;
f(x) = 0 ⇔ x = 1/3;
F(1/3) = C = 0 ;

1019. а) f (x) = 2x,

б) f (x) = 3x 3 ,

y = x + 2,

2

F(x) = x + C ;

F( x ) = (3x − 1)4 .

y = x 02 + C + 2x 0 (x − x 0 ) =

y = 3/ 4x 04 + C + 3x 03 (x − x 0 ) =

2 xx 0 − x 02

=
+C ;
2x 0 = 1 ;
x 0 = 1/ 2 ;
1
y = x− +C = x+2;
4
9
C= ;
4
9
F( x ) = x 2 + .
4

= 3x 0 3 x − 2

1 4
x0 + C;
4

3x 0 3 = 3 ;
x0 =1;
y = 3x − (9 / 4) + C = 3x + 2 ;

17
;
4
3
17
F( x ) = x 4 +
.
4
4

C=

1020. y = 3 cos 3x + 6 sin 6 x ;

Y = sin 3x − cos 6x + C ;
3π
6 = sin
− cos 3π + C ;
2
6 = −1 + 1 + C ;
C=6;
Y = sin 3x − cos 6x + 6 ;
π
⎛π⎞
Y⎜ ⎟ = sin − cos π + 6 = 1 + 1 + 6 = 8 ;
6
2
⎝ ⎠

§ 38. Определенный интеграл
1

1021. а) ∫ x 3dx =
2
−
3

8

x4
4

1
2
−
3

y = 3x + 2;

F(x) = 3/ 4x 4 + C ;

=

1
16
1 4
65
.
−
= − =
4 81 ⋅ 4 4 81 324

3

б)

dx

∫ x2

3

1
1
2
= − +1= .
x1
3
3

=−

1

x5
в) ∫ x dx =
5
−1
2

9

г)

dx

∫

2

4

x

4

=
−1

=2 x

9
4

32 1 33
+ =
.
5 5 5

= 6−4 = 2 .

π

1022. а)

π
π
2

∫ sin xdx = − cosx
π
2

π
2

в)

∫π

−

cos xdx = sin x

π
2
−

π
2

= 1 . б)

π
4

dx

∫π cos 2 x

−

= tg x

π
4
−

π
4

= 1+1 = 2 .

4
π
2

= 1+1 = 2 .

г)

2

dx

∫π sin 2 x

= −ctg x

π
2
π
4

=1.

4
π
2

1023. а)

∫π

−

π
3

π

cos 2xdx =

1
1
sin 2 x 2 π = .
2
2
−
4

4

π

π⎞ 3
2π
π 10 3
⎛
dx = −5ctg ⎜ x + ⎟ = −5ctg
+ 5ctg =
б) ∫
.
π
3⎠0
3
3
3
⎝
0 sin 2 ⎛ x + ⎞
⎜
⎟
3⎠
⎝
5

π

в)

∫π

2 sin

2
π
3

г)

x
x
dx = −6 cos
3
3

7

∫π cos 2 3x

π

π
2

= −3 + 3 3 .

π

dx =

7
7 7
tg3x 03 = 0 + = .
3
3 3

4
5

1024. а)

∫
1

3

б)

∫1

dx
2x − 1

dx
10 − 3x

=−

5

= 2x − 1 = 3 − 1 = 2 .
1

2
10 − --">