Коллектив авторов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению

Сборник задач
по дифференциальным
уравнениям
и вариационному
исчислению
5-е издание (электронное)
Под редакцией
В. К. Романко

Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2015

УДК 517.9
ББК 22.161.1
C23

А в т о р с к и й к о л л е к т и в:
В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов,
Л. И. Коваленко
Сборник задач по дифференциальным уравнениям и ваC23 риационному исчислению [Электронный ресурс] / В. К. Романко [и др.] ; под ред. В. К. Романко. — 5-е изд. (эл.). —
Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 222 с.). — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2015. — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10".
ISBN 978-5-9963-2662-4
Задачник обеспечивает практические занятия по курсу «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление».
В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы.
Для студентов физико-математических, инженерно-физических
и экономических специальностей.
УДК 517.9
ББК 22.161.1

Деривативное электронное издание на основе печатного
аналога: Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В. К. Романко [и др.] ; под ред. В. К. Романко. — 3-е изд., испр. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. —
219 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-0652-7.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-9963-2662-4

c БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003
○

Оглавление
W

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка . . .
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых. Приближенное изображение интегральных кривых уравнений. . . . . . . . . .
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и уравнения Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5. Исследование задачи Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
5
5
10
17
24
29
38

Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка . . 45
§ 7. Основные типы уравнений, допускающие понижение порядка
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
56
75
87

Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений . 94
§ 11. Методы решения линейных систем уравнений с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами . . . . . 129

Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений
равновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положений
равновесия и на всей фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 16. Первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135
148
154
159

Глава 5. Автономные системы дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка . . . . . . . 166
§ 17. Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Глава 6. Элементы вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . 189
§ 19.
§ 20.
§ 21.
§ 22.

Простейшая вариационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Обобщения простейшей вариационной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Изопериметрическая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Достаточные условия строгого слабого локального экстремума --">