Коллектив авторов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению

в простейшей вариационной задаче . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189
203
213
216

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Предисловие
W

Настоящий сборник составлен на основании многолетнего опыта преподавания курса обыкновенных дифференциальных уравнений в Московском физико-техническом институте (государственном университете).
В сборнике содержится большое число оригинальных задач, составленных преподавателями кафедры высшей математики МФТИ. Значительная часть задач сборника подготовлена авторами. Н. Х. Агаханов
укомплектовал задачами § 6 и § 13 сборника, В. В. Власов совместно с
В. К. Романко подобрали задачи § 8 и § 11 сборника, Л. И. Коваленко
составила задачи § 7 и совместно с В. К. Романко подобрала задачи
§ § 2–4 и § 9 сборника. Подбор задач остальных параграфов сборника
и общая редакция сборника осуществлены В. К. Романко.
В начале каждого параграфа сборника помещены примеры решений
типовых задач. Начало решения задачи отмечается значком , а конец
решения — значком . В конце каждого параграфа приведены ответы к
задачам параграфа.
В сборнике предлагается большое количество задач по основным
темам программы курса обыкновенных дифференциальных уравнений.
Это позволяет использовать сборник преподавателями для аудиторной
работы, для домашних заданий, для составления контрольных работ, а
студентами — для самостоятельной работы.
Авторы сборника выражают глубокую благодарность коллективу
кафедры высшей математики МФТИ, чья многолетняя творческая деятельность способствовала появлению этого сборника. Авторы сборника особенно благодарны профессору Г. Н. Яковлеву и профессору
М. И. Шабунину за помощь при написании сборника.
Во втором издании исправлены замеченные ошибки и неточности.
Некоторые задачи заменены и добавлены новые задачи.
Большую работу по подготовке второго издания выполнила Л. И. Коваленко. Авторы выражают благодарность студентам МФТИ И. Агрону,
Я. Зарецкому, О. Корзинову, Н. Славскому, Н. Чернышкину за работу
по проверке ответов некоторых задач.

Глава 1

Дифференциальные уравнения
первого порядка
W

§ 1. Составление уравнений
заданного семейства плоских кривых.
Приближенное изображение
интегральных кривых уравнений
Пусть семейство плоских непрерывно дифференцируемых кривых задано уравнением Φ(x, y, C ) = 0, где y — неявная функция x при каждом
значении параметра C . Если система уравнений
⎧
⎨ ∂Φ + ∂Φ · y  = 0,
∂x
∂y
⎩Φ(x, y, C ) = 0
позволяет исключить параметр C , то получается дифференциальное
уравнение заданного семейства кривых.
В случае, когда семейство кривых задано уравнением
Φ(x, y, C1 , C2 ) = 0, зависящим от двух параметров C1 и C2 , исключение
параметров C1 , C2 и получение дифференциального уравнения семейства кривых достигается с помощью нахождения второй производной
от Φ по x.
Пример 1. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых
2
tg y = Ce−x .
 Продифференцируем по x заданное соотношение, считая y неявной
функцией x:
2
y
= −2xCe−x .
cos2 y
2

Подставляя сюда найденное из заданного соотношения C = ex tg y , получаем искомое уравнение
y  + x sin 2y = 0.

Чтобы приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения y  = f (x, y ), необходимо рассмотреть несколько изоклин уравнения и найти линии, на которых могут находиться точки
экстремума и точки перегиба интегральных кривых.

6

Г л а в а 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Пример 2. Построить приближенно интегральные кривые уравнения
y  = y − 3x.
 Правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши на всей плоскости (x, y ).
Поэтому интегральные кривые не могут ни пересекаться, ни касаться.
Изоклины уравнения имеют виду y − 3x = k, где k = const. При k = 0
изоклина y = 3x делит плоскость на две части. Слева от прямой y = 3x
y  > 0, а справа от прямой y = 3x y  < 0. Значит, слева от прямой y = 3x
интегральные кривые — это графики возрастающих решений y = y (x)
уравнения, а справа от прямой y = 3x интегральные кривые — графики
убывающих решений уравнения. На самой прямой y = 3x находятся
максимумы решений y = y (x) уравнения.
Возьмем еще две изоклины. Изоклина y = 3x + 1 пересекает интегральные кривые в точках, в которых касательные к ним образуют
с осью Ox углы π . Изоклина y = 3x− 1 пересекает интегральные --">