Коллектив авторов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению

кривые
4

в точках, в которых касательные к ним образуют с осью Ox углы 3π .
4
Из уравнения найдем y  = y  −3 = y−3x−3. Прямая y = 3x + 3 делит
плоскость на две части. Слева от прямой y = 3x + 3 y  > 0 и, значит,
интегральные кривые выпуклые вниз, а справа от этой прямой y  < 0 и,
значит, решения y = y (x) уравнения — выпуклые вниз функции, а справа
от этой прямой y  < 0 и, значит, решения y = y (x) — выпуклые вверх
функции. Прямая y = 3x + 3 является интегральной кривой, в чем
можно убедиться подстановкой y = 3x + 3 в уравнение. Поэтому другие
интегральные кривые не пересекают эту прямую.
Проведенное исследование позволяет приближенно построить инте
гральные кривые заданного уравнения (см. рис. 1.1).
Составить дифференциальные уравнения семейства кривых (1–18):
1. y = Cx2 − x.
3. y = (x − C )2 .

2. y = x2 + Cx.
4. (y − C )2 = 2x.

5. (x − C )2 + y12 .

6. x2 + (y − C ) = 1.

7. 2x2 + Cy 2 = 1.

8. (y − C )2 = 1 .

9.
11.
13.
15.

x2 + 2x − (y − C )2 = 2.
Cx = sin Cy .
x2 = (C + y )ey .
y = A cos(x + ϕ).

17. y =

C1
+ C2 x.
x

2

10.
12.
14.
16.

x

y = tg(x + C ).
Cy = tg Cx.
y 2 + 2Cxy + x2 + 2x = 0.
y = (C1 + C2 x)ex .

18. y 2 = C1 x2 + C2 x.

§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых

РИС. 1.1

Построить приближенно интегральные кривые уравнений (19–38):
y−1
.
x−1
1−x
21. y  =
.
y−1
1−y
23. y  =
.
x

19. y  =

y
.
x+1
x+1
22. y  =
.
1−y
24. y  = y .
1−x

20. y  =

7

8

Г л а в а 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

25. y  = (x − 1)y .
27. y  =

2x + y
.
x − 2y

26. y  = x(y + 1).
28. y  =

y − 2x
.
2y + x

29. y  = 2x + 2y + 1.

30. y  = 2x − 2y − 1.

31. y  = y − x2 − 2x − 2.

32. y  = y − x2 + 2x.

33. y  = −x2 − y .

34. y  = y + x2 .

x



3

x



35. y = y − x .

36. y = 2xy − 2.

37. y  = x2 + y 2 − 1.

38. y  = x2 − y 2 − 1.

39. Пусть задано уравнение y  = f (x, y ) с непрерывной функцией f (x, y )
на всей плоскости (x, y ). Показать, что:
а) если уравнение имеет периодическое периода T > 0 решение
y = ϕ(x), отличное от константы, то необходимо f (x, y ) при
y = ϕ(x) имеет период T > 0 по x,
б) если f (x, y ) при любом y = y (x) не является периодической
функцией x периода T > 0, то уравнение не имеет периодических решений периода T > 0, отличных от константы.
40. Пусть y = ϕ(x) — решение уравнения y  = f (x, y ) с непрерывной
функцией f (x, y ) на всей плоскости (x, y ). Показать, что:
а) при f (−x, y ) = −f (x, y ) функция y = ϕ(−x) — также решение
уравнения,
б) при f (x, −y ) = −f (x, y ) функция y = −ϕ(x) — также решение
уравнения,
в) при f (−x, −y ) = f (x, y ) функция y = −ϕ(−x) — также решение
уравнения.
41. Пусть f (x, y ) — непрерывно дифференцируемая функция на всей
плоскости (x, y ) и пусть f (x, y ) — периодическая функция по x периода T и

∂f(x, y)
> 0.
∂y

Доказать, что уравнение y  = f (x, y ) не может иметь более одного
периодического решения.

Ответы к задачам § 1
1. xy  − 2y = x.

2. xy  − y = x2 .

3. y 2 = 4y .

4. 2xy 2 = 1.

5. y 2 (y 2 + 1) = 1.

6. (1 − x2 )y 2 = x2 .

7. (2x2 − 1)y  = 2xy .

8. 4x3 y 2 = 1.

§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых

9. (x2 + 2x − 2)y 2 = (x + 1)2 .

10. y  = 1 + y 2 .


x y − 1


y y 2 − 1
1
11.  = cos
.
y
|xy  |

12. y cos

13. (x2 + ey )y  = 2x.

14. x(y 2 − x2 − 2x)y  = y (y 2 − x2 ).

15. y  + y = 0.

16. y  − 2y  + y = 0.

17. x2 y  + xy  − y = 0.

18. x2 (yy  + y 2 ) = y (2xy  − y ).



2

|y|

= 1.

9

10

Г л а в а 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

§ 2. Уравнения с разделяющимися
переменными. Ортогональные траектории.
Однородные уравнения
Для решения уравнения с разделяющимися переменными
P1 (x)q1 (y )dx + P2 (x)q2 (y )dy = 0
необходимо уравнение сначала умножить или разделить на такое выражение, чтобы в результате получилось уравнение, одна часть которого
содержит только dx и некоторую функцию x, а другая часть содержит
только dy и некоторую функцию y . При делении уравнения надо следить, чтобы не потерялись решения уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
(x + 2)(1 + y 2 )dx + (x + 1)y 2 dy = 0.
 Разделив уравнение на (x + 1)(1 + y 2 ), получаем уравнение с разделенными переменными
x+2
y2
dx +
dy = 0.
x+1
1 + y2

При делении на (x +1) можно потерять решение x = −1. Подстановка
x = −1 в заданное уравнение показывает, что x = −1 действительно
является решением уравнения.
Далее имеем


x+2
dx +
x+1

y 2 dy
= C,
1 + y2

где C — произвольная постоянная. Найдя интегралы, получаем
x + y + ln |x + 1| − arctg y = C.


Для получения ортогональных траекторий заданного семейства
плоских кривых нужно сначала составить дифференциальное --">