Андрей Андреевич Никитин - Математический анализ

Version

0.0.1

17.08.2023

Ââåäåíèå. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ.
1

Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè

Ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç îáúåêòîâ, íàçûâàåìûõ åãî ýëåìåíòàìè. Çàïèñü x ∈ A îçíà÷àåò,
÷òî îáúåêò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A; ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A. Çàïèñü
x ∉ A îçíà÷àåò, ÷òî x íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A; íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà
A.
Ìíîæåñòâî ìîæåò çàäàâàòüñÿ ïåðå÷èñëåíèåì ñâîèõ ýëåìåíòîâ:

{1, 5, 14, 100},
à òàêæå óêàçàíèåì ñâîéñòâà (ïðèíöèï
òâîðÿþùèõ ñâîéñòâó

P,

{a, á, è, î},

ñåëåêöèè ): ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, óäîâëå-

îáîçíà÷åíèå:

A = {x ∈ M ∣ x − óäîâëåòâîðÿåò

ñâîéñòâó P }.

Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå íåêîòîðîìó îñíîâíîìó ìíîæåñòâó M (îáú¼ìëþùåìó ìíîæåñòâó, ìíîæåñòâó äîïóñòèìûõ ýëåìåíòîâ). Ìíîæåñòâî M ëèáî ÿñíî èç êîíòåêñòà, ëèáî ÿâíî óêàçûâàåòñÿ. Íàïðèìåð, â ïëàíèìåòðèè M  ýòî ïëîñêîñòü.

Ïðèìåð 1.1.

A = {x ∈ R ∣ x2 > 4} = (−∞, −2) ∪ (2, +∞).

Ïðèìåð 1.2.

F = {n ∈ N, n > 2 ∣ íàéäóòñÿ x, y, z ∈ N,

äëÿ êîòîðûõ

xn + y n = z n }.

Ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà ìîãóò áûòü ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, âî ìíîæåñòâå

{1, {1}, {2, 3}}
òðè ýëåìåíòà: ÷èñëî

1,

1,

ìíîæåñòâî, åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî

è ìíîæåñòâî èç äâóõ ýëåìåíòîâ  ÷èñåë

2

è

3.

?
ˆ Äàéòå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà. Ìîæíî ëè ââåñòè òàêîå ïîíÿòèå?

ˆ ×òî îçíà÷àåò, ÷òî ¾ìíîæåñòâî ìîæåò çàäàâàòüñÿ ïåðå÷èñëåíèåì ñâîèõ ýëåìåíòîâ¿?

3

ÃËÀÂÀ

I
Ñåêöèÿ 1. Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
Ñåêöèÿ 2. Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ
ìíîæåñòâ

Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè

Óäîáíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå
îäíîãî ýëåìåíòà. Îáîçíà÷åíèå:

4

ïóñòîå ìíîæåñòâî  ìíîæåñòâî, â êîòîðîì íåò íè

Îáùåïðèíÿòûå ñîêðàùåíèÿ çàïèñè.

∅.

Q  äâà óòâåðæäåíèÿ, òî çàïèñü P ⇒ Q íàçûâàåòñÿ èìïëèêàöèåé è îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âåðíî P , òî âåðíî è Q (èç P ñëåäóåò Q, P âëå÷¼ò Q) èëè P äîñòàòî÷íî
äëÿ Q (Q íåîáõîäèìî äëÿ P ).
Åñëè

P

Åñëè

P ⇒ Q

è

è

ýêâèâàëåíòíû ) èëè

Q ⇒ P , òî ãîâîðÿò, ÷òî óòâåðæäåíèÿ P è Q ðàâíîñèëüíû
P íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ Q. Îáîçíà÷åíèå: P ⇔ Q.

(èëè

∀  êâàíòîð âñåîáùíîñòè ;
∃  êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ ;
∃!  ¾ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííûé¿;
def

∶= èëè =  ¾ðàâåíñòâî ïî îïðåäåëåíèþ¿;

Îïðåäåëåíèå. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà

òî ãîâîðÿò, ÷òî
Îáîçíà÷åíèå:

A ñîäåðæèòñÿ â B

(èëè

A

A

ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó

ïîäìíîæåñòâî

Ba ,

B).

A ⊂ B.

a Ò.å. ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

Îïðåäåëåíèå. Åñëè ìíîæåñòâà

èõ íàçûâàþò
òîãäà, êîãäà

A

è

è

ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, òî

= B.

ðàâíûìè è ïèøóò A

A⊂B

B

Äðóãèìè ñëîâàìè

A=B

B ⊂ A:

(∀x ∈ A ⇒ x ∈ B)

òîãäà è òîëüêî

Ðèñ. 1.
è

Ðèñ. 2.

(∀y ∈ B ⇒ y ∈ A) ⇐⇒ A = B.

Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ

Âêëþ÷åíèå ìíîæåñòâ

Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè

5

Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè.
1.

Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ â

A

èëè â

B.

Îáîçíà÷åíèå:

A ∪ B.

A ∪ B ∶= {x ∈ M ∣ x ∈ A èëè x ∈ B}.

Ðèñ. 3.

2.

Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ

Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ
è â

A,

è â

B.

Îáîçíà÷åíèå:

A ∩ B.

A ∩ B ∶= {x ∈ M ∣ x ∈ A è x ∈ B}.

Ðèñ. 4.

3.

Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ

Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ëåæàùèõ
â

A,

íî íå ëåæàùèõ â

B.

Îáîçíà÷åíèå:

A ∖ B.

A ∖ B ∶= {x ∈ M ∣ x ∈ A è x ∉ B}.

Ðèñ. 5.

Ðàçíîñòü ìíîæåñòâ

Áèíàðíûå îïåðàöèè.

Ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè

4.

6

Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B.

A △ B ∶= {x ∈ M ∣ (x ∈ A è x ∉ B)

èëè

(x ∈ B è x ∉ A) } =

= (A ∪ B) ∖ (A ∩ B) = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A).

Ðèñ. 6.

Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ

Ïðèìåð 1.3. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ.

Ïóñòü
èëè

x ∈ C)

äèñòðèáóòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ

x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇒ (x ∈ A èëè x ∈ B) è x ∈ C ⇒
(x ∈ B è x ∈ C) ⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

Äîêàçàòåëüñòâî.

⇒ (x ∈ A

è



(A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A ∩ C èëè x ∈ B ∩ C ⇒
⇒ (x ∈ A è x ∈ C) èëè (x ∈ B è x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∪ B è x ∈ C ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ C.

(A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ C.

Ïóñòü

Çàäà÷à 1.

Äîêàæèòå ðàâåíñòâî:

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

5. Ïóñòü ìû ðàáîòàåì ñ ïîäìíîæåñòâîì íåêîåãî îáú¼ìëþùåãî ìíîæåñòâà

ïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A

⊂ M --">