Андрей Андреевич Никитин - Математический анализ

êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé àññîöèàòèâíà:

(h ○ g) ○ f = h ○ (g ○ f ).

Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ

?

10

Çàâèñèò ëè êîìïîçèöèÿ íåñêîëüêèõ îòîáðàæåíèé

f1 ○ f2 ○ . . . ○ fn
(åñëè îíà îïðåäåëåíà) îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê?

?

Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ.

ˆ Êàêèå èç îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè íå ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè? Ò.å. íå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
A ∗ B = B ∗ A.

ˆ Ìîæåò ëè ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A ∖ B áûòü ïóñòûì?
ˆ Êàêèå îáúåêòû ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ A è B?

ÃËÀÂÀ

Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ïðèíöèïû

II

ïîëíîòû.
1

Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
Áóäåì ñ÷èòàòü ìíîæåñòâà N íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, Z öåëûõ ÷èñåë è Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë èçâåñòíûìè.

Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü  ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ (äåéñòâèòåëüíûõ) ÷èñåë, R.

Ñåêöèÿ 1. Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ
÷èñåë
Ñåêöèÿ 2. Îãðàíè÷åííûå è
íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà
Ñåêöèÿ 3. Ïðèíöèï âëîæåííûõ
îòðåçêîâ
Ñåêöèÿ 4. Ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé
Ñåêöèÿ 5. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà

?
ˆ Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò âåùåñòâåííûå ÷èñëà ïî
ñðàâíåíèþ ñ ðàöèîíàëüíûìè?

ˆ ×òî ó íèõ îáùåãî? ×òî ðàçëè÷íîãî?
ˆ Êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ýëåìåíòû
ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë?

I. Ïðàâèëà ñëîæåíèÿ.

Àêñèîìàòèêà âåùåñòâåííûõ
÷èñåë

Íà ìíîæåñòâå R îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå (îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ)

+ ∶ R × R ↦ R,
ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (x, y) ýëåìåíòîâ x, y ∈ R
íåêîòîðûé ýëåìåíò x + y ∈ R, íàçûâàåìûé ñóììîé x è y . Ïðè ýòîì,
âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:

I1 . ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò 0 ∈ R (íàçûâàåìûé â ñëó÷àå
ñëîæåíèÿ íóë¼ì ), ÷òî ∀x ∈ R âûïîëíåíî:
x + 0 = 0 + x = x;
I2 . ∀x ∈ R èìååòñÿ ýëåìåíò −x ∈ R, íàçûâàåìûé ïðîòèâîïîëîæíûì ê
x, òàêîé ÷òî
x + (−x) = (−x) + x = 0;
I3 . îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ àññîöèàòèâíà, ò.å. ∀x, y, z ∈ R âûïîëíåíî:
x + (y + z) = (x + y) + z;
I4 . îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ êîììóòàòèâíà, ò.å. ∀x, y ∈ R âûïîëíåíî:
x + y = y + x.
Åñëè íà ìíîæåñòâå

11

G

îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì

I1 , I2 ,

Àêñèîìàòè÷åñêèé
ìåòîä îáëàäàåò òåìè æå
ïðåèìóùåñòâàìè, ÷òî è
âîðîâñòâî ïåðåä ÷åñòíûì
òðóäîì.
Á. Ðàññåë

Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

I3 ,

G

òî ãîâîðÿò, ÷òî íà

12

çàäàíà

ñòðóêòóðà ãðóïïû èëè, ÷òî

îïåðàöèþ íàçûâàþò ñëîæåíèåì, òî ãðóïïà íàçûâàåòñÿ
âûïîëíåíî óñëîâèå

Îïðåäåëåíèå.

I4 ,

òî ãðóïïó íàçûâàþò

Ðàçíîñòü ÷èñåë

bè a

Óòâåðæäåíèå 1.1. Ðàçíîñòü ÷èñåë

G

åñòü

ãðóïïà. Åñëè

àääèòèâíîé. Åñëè, êðîìå òîãî,

êîììóòàòèâíîé èëè àáåëåâîé.

 ýòî òàêîå ÷èñëî

x,

÷òî

b = a + x.

b è a ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííà è ðàâíà b +(−a).

+(−a)

Äîêàçàòåëüñòâî.

b = a + x ⇐⇒ b + (−a) = x.

II. Ïðàâèëà óìíîæåíèÿ.
Íà ìíîæåñòâå R îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå (îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ)

⋅ ∶ R × R ↦ R,
ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (x, y) ýëåìåíòîâ x, y ∈ R

íåêîòîðûé ýëåìåíò x ⋅ y ∈ R, íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì x è y , äëÿ
êîòîðîãî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

II1 . ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò 1 ∈ R (íàçûâàåìûé â ñëó÷àå
a
óìíîæåíèÿ åäèíèöåé ), ÷òî ∀x ∈ R âûïîëíåíî:
x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x;
II2 . ∀x ∈ R ∖ {0} èìååòñÿ ýëåìåíò x−1 ∈ R, íàçûâàåìûé îáðàòíûì ê x,
òàêîé ÷òî

x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1;

II3 . îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ àññîöèàòèâíà, ò.å. ∀x, y, z ∈ R âûïîëíåíî:
x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z;
II4 . îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ êîììóòàòèâíà, ò.å. ∀x, y ∈ R âûïîëíåíî:
x ⋅ y = y ⋅ x.
Çàìåòèì, ÷òî ïî îòíîøåíèþ ê îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìíîæåñòâî R ∖ {0}
ÿâëÿåòñÿ (ìóëüòèïëèêàòèâíîé) ãðóïïîé.

a Òðåáóåì, ÷òîáû 1 ≠ 0, ò.å., ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà íå ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà.

Ñâÿçü ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.
(I, II) Óìíîæåíèå äèñòðèáóòèâíî ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþ, ò.å. ∀x, y, z ∈ R
âûïîëíåíî:

(x+y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z.
Åñëè íà ìíîæåñòâå G äåéñòâóþò äâå îïåðàöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå âñåì ïåðå÷èñëåííûì ïðàâèëàì (àêñèîìàì), òî G íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì (÷èñëî-

âûì) ïîëåì, èëè ïðîñòî ïîëåì.

Òåîðèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

13

Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî îáðàòíûé ýëåìåíò åäèíñòâåíåí êàê äëÿ îïåðàöèè ñëî-

æåíèÿ, òàê è äëÿ óìíîæåíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì ðàññóæäåíèÿ äëÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ. Ïóñòü

è äâà åìó ïðîòèâîïîëîæíûõ

x1

è

x2

:

x + x1 = 0 , x + x2 = 0 .

∃x ∈ R

Òîãäà, èñïîëüçóÿ

àññîöèàòèâíîñòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì:

x2 = 0 + x2 = (x1 + x) + x2 = x1 + (x + x2 ) = x1 + 0 = x1 .

Óïðàæíåíèå. Äîêàæåì, ÷òî

Äîêàçàòåëüñòâî.

∀x ∈ R

Ïîëó÷àåì,

âûïîëíåíî

0 ⋅ x = --">