Эдуард Николаевич Балаян - Геометрия : задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ : 8 класс : профильный уровень

7-11» и другим книгам.
В пособии 24 таблицы. В каждой таблице количество задач различно.
Как правило, они составлены в порядке возрастающей трудности, что
дает возможность учителю проводить работу дифференцированно.
К наиболее трудным задачам приведены подробные решения с пояс­
нениями, а к остальным — указания и ответы, что дает возможность
проверить правильность решения.
Отметим, что предлагаемые упражнения не ставят целью заменить
систему задач из вышеуказанных пособий, а являются лишь дополне­
нием к ней. Они дают возможность учителю сэкономить значительную
часть времени на изучение соответствующих тем и способствуют усиле­
нию практической направленности преподавания геометрии.

Раздел I

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Планиметрия
1. Углы
Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя луча­
ми, исходящими из одной точки (рис. 1).
Точка О — вершина угла, а лучи ОА и ОВ — стороны угла.
Обозначение: ZAOB или Zab.
Угол в 90° называется прямым (рис. 2).
Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3).
Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется ту­
пым (рис. 4).

Два угла называются вертикальными,
если стороны одного угла являются продол­
жениями сторон другого (рис. 5).
ZAOC и ZDOB; ZBOC и ZAOD — верти­
кальные.
Вертикальные углы равны: ZAOC = ZDOB
и ZBOC = ZAOD.
Два угла называются смежными, если у
них одна сторона общая, а две другие со­
ставляют прямую линию (рис. 6), ZAOC и
ZBOC— смежные.

Рис. 6

6 «• Геометрия.

Задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. 8 класс

Рис. 7

Сумма смежных углов равна 180°.
Биссектрисой угла называется луч, про­
ходящий между сторонами угла и делящий его
пополам (рис. 7).
Биссектрисы вертикальных углов состав­
ляют продолжение друг друга (рис. 8).
Биссектрисы смежных углов взаимно пер­
пендикулярны (рис. 9).

При пересечении двух прямых anb третьей с (секущей) образуется 8
углов (рис. 10):
соответственные углы:
Z1 и Z5, Z2 и Z6, Z4 и Z8, Z3 и Z7;
внутренние накрест лежащие:
Z4 и Z6, Z3 и Z5;
внешние накрест лежащие:
Z1 и Z7, Z2 и Z8;
внутренние односторонние:
Z4 и Z5, Z3 и Z6;
внешние односторонние:
Z1 и Z8, Z2 и Z7.

Рис. 10

2. Многоугольник
ABCDE — пятиугольник (рис. 11).
Точки А, В, С, D, Е — вершины
многоугольника; ZA, ZB, ZC, Z.D,
ZE — углы; АВ, ВС, CD и т. д. — сто­
роны; отрезки AC, AD, BE, BD, СЕ —
диагонали; Р = АВ + ВС + ... + ЕА —
периметр многоугольника.
Многоугольник называется выпук­
лым (рис. 11), если он целиком
расположен по одну сторону от каж­
дой прямой, проходящей через две

Разлел I. Краткие теоретические свеления

•» 7

его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется
невыпуклым (рис. 12).

Свойства

1. Сумма внутренних углов произвольного
n-угольника равна 180° • (п - 2).
2. Сумма внешних углов выпуклого
n-угольника, взятых по одному при каждой
вершине, равна 360°.
3. В выпуклом n-угольнике из каждой
вершины можно провести (п - 3) диагоналей,
которые разбивают n-угольник на (п - 2) тре­
угольников.
4. В выпуклом n-угольнике число диаго­
налей равно — п(п - 3).

3. Правильные многоугольники
Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, на­
зывается правильным.

Свойства
„ „
180°(п-2)
1. Каждый угол правильного n-угольника равен а_ =-------------- .
п

2. Около правильного n-угольника можно описать окружность, и при­
том только одну.
3. В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом
только одну.
4. Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех
сторон n-угольника в их серединах.
5. Центр окружности, описанной около правильного п-угольника,
совпадает с центром окружности, вписанной в тот же п-угольник.
6. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окруж„
• 180°
ность радиуса R, равна a = 2R sm------ .
n
7. Длина стороны правильного n-угольника, описанного около
о х 180°
окружности радиуса г, равна a = 2r tg------ .
п

4. Треугольник
Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из
трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последова­
тельно соединяющих эти точки.

8 «•

Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. 8 класс

Точки А, В, С — вершины ДАВС.
Отрезки АВ, ВС и АС — стороны, АА,
АВ и АС — углы.
Стороны треугольника часто обознача­
ют малыми буквами (рис. 13):
АВ = с, ВС = а, АС = Ъ.
Р = а + Ь + с — --">