Виталий Афанасьевич Жилкин - Определение перемещений в упругих системах в программных продуктах MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания

определения перемещений от силового воздействия
вместо формулы (3) используются упрощённые формулы, которые получаются из (3)
путём отбрасывания членов, незначительно влияющих на конечный результат. Эти
формулы имеют следующий вид:
– для балок и рам
M M
∆ KP = ∑ ∫ K P ds ;
(4)
EI
– для идеальных шарнирных ферм
N N
∆ KP = ∑ Ki Pi Li ;
(5)
(EF )i
– для комбинированных систем
Li

∆ KP = ∑ ∫

i 0

M Ki MPi
N Ki NPi
ds + ∑
Li .
(EI )i
(
EF
)
i
i

Комбинированной системой называют такую, в которой имеются элементы, работающие преимущественно на изгиб (балка), и элементы, работающие преимущественно на растяжение-сжатие (стержни, соединённые шарнирами) (рис.2).
12

(6)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис.2
2.1.2. Перемещения от изменения температуры

Перемещения в упругих плоских статически определимых стержневых системах
определяются по формуле
∆t
∆ Kt = ∑ ∫ αto N K ds + ∑ ∫ α M K
ds ,
(7)
d
где t o – температура на оси стержня; ∆t = t 1 − t 2 – изменение температуры по толщине стержня.
Первый член формулы соответствует перемещению от действия равномерного
нагрева по толщине стержня на величину t o , второй – перемещение от неравномерного нагрева на разность температур ∆t = t 1 − t 2 , где t 1 и t 2 – температура на поверхности стержня. При вычислении перемещения ∆Kt интегрирование распространяется
только на те элементы системы, температурный режим которых изменяется.
Для случая прямолинейных и ломаных стержней постоянного сечения интегралы
могут быть подсчитаны как площади единичных эпюр M K , N K , и формула (7) примет простой вид:
∆t
∆ Kt = ∑ αto Ω N + ∑ α Ω M ,
(8)
K
K
d
где Ω N , Ω M – площади единичных эпюр N K , M K .
K

K

Знак первого слагаемого формулы (8) получается «автоматически», если площадь
эпюры Ω N брать со знаком соответствующей эпюры N K , а за знак температурного
K

слагаемого принимать тот, который получается при расчёте. Для второго слагаемого
формулы (8) принимается знак (+) плюс, если положение растянутых волокон от температуры и изгиба, вызванного единичным силовым фактором, совпадает.
Величина ∆t принимается по абсолютному значению, т.е. ∆t = t1 − t 2 .
Порядок определения перемещения по формуле (8):
а) прикладывается единичная сила или единичный момент в точке, в которой ищется
перемещение;
б) строятся эпюры M K , N K от единичной нагрузки;
в) по эпюрам M K , N K определяются площади Ω M , Ω N ;
K

K

г) вычисляются величины ∆t , t o ;
д) по формуле (8) определяется перемещение, при этом соблюдаются указанные выше
правила знаков.

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.1.3. Перемещения от смещения опор

Перемещение от смещения опорных связей определяется по формуле

∆ Kc = − ∑ RKi ∆i ,

(9)

i

где RKi – реакция i -й связи от действия единичного силового фактора, приложенного
в точке K , в которой ищется перемещение; ∆i – заданное перемещение i -й связи.
Для определения перемещений по формуле (9) нужно рассмотреть два состояния
системы:

действительное, в которой заданы смещения опорных связей (рис.3,а);

вспомогательное от действия единичной обобщённой силы, приложенной в точке K (рис.3,б).

Рис.3
Далее необходимо:
а) для вспомогательного состояния определить реакции тех связей Ri , смещение которых задано в действительном состоянии;
б) составить сумму работ с обратным знаком реакций Ri вспомогательного состояния
на соответствующих смещениях ∆i действительного состояния.
Знак произведения Ri ⋅ ∆i принимается положительным, если направление реакции Ri и перемещения ∆i совпадают. При этом нужно помнить, что силы Ri умножаются на соответствующие линейные перемещения, а моменты Mi - на углы поворота.
Горизонтальное перемещение точки K для рамы, показанной на рис.4:

∆ Kc = − (−R B ⋅∆B ) =

14

h
∆B .
L

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ В ФОРМУЛАХ
МАКСВЕЛЛА-МОРА
2.2.1. Аналитический метод

В этом случае находятся аналитические выражения внутренних сил в действительном и вспомогательном состоянии, а затем аналитически, если это возможно, или с
помощью системы MathCAD вычисляются интегралы.
При непосредственном (аналитическом) вычислении интегралов Максвелла-Мора
протяженность каждого участка при постоянной жесткости сечения EJ определяется
областью, в пределах --">