Виталий Афанасьевич Жилкин - Определение перемещений в упругих системах в программных продуктах MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания

коэффициент теплового линейного расширения материала; t температура нейтрального волокна, равная (t 1 + t 2 ) / 2 для стержня, центр тяжести поперечного сечения которого находится посредине высоты сечения; ∆t = t 1 − t 2 - разность температур; t 1 , t 2 - приращение температур крайних волокон стержня.
Знаки суммы в формуле (1) указывают на то обстоятельство, что в общем случае, когда уравнения «грузового» MP , QP , N P и «единичного» M K , Q K , N K состояний для отдельных участков системы различны, интегралы вычисляется по участкам и результаты суммируются.
В этой формуле подынтегральное произведение M K MP для элемента ds положительно, если оба момента изгибают этот элемент в одну сторону, то есть если
эпюры M K и MP расположены по одну сторону от оси (напомним, что эпюры изгибающих моментов строятся на сжатых волокнах). Произведения Q K QP и N K N P положительны, если усилия имеют одинаковый знак. Произведение M K ∆t положительно, если момент M K и тепловое воздействие ∆t искривляют элемент в одном направлении (эпюра моментов M K расположена со стороны более нагретых волокон). Произведение N K t положительно, если нормальная сила и температура нейтрального волокна t одного знака; произведение R K c положительно, если реакция R K от единичного силового фактора направлена в сторону заданного смещения связи c .
Для вычисления перемещений по формуле Максвелла-Мора вначале нужно построить грузовые эпюры внутренних усилий MP , QP , N P , затем в точке, перемещение которой ищется, приложить единичный силовой фактор по направлению искомого
перемещения и от его действия вычислить реакции R K в связях, перемещение c которых задано, и построить единичные эпюры M K , Q K , N K . Наконец, вычислить соответствующие интегралы и суммы произведений. Если перемещение, вычисленное по
формуле (1) положительно, то точка перемещается в сторону действия приложенного
единичного силового фактора, если перемещение отрицательно, то точка перемещается
в обратную сторону.
В качестве единичных силовых факторов прикладываются при вычислении:
• линейного перемещения точки сосредоточенная единичная сила P = 1 в
направлении искомого перемещения;
• угла поворота сосредоточенный единичный момент m = 1 ;
• взаимного линейного перемещения двух точек (изменения расстояния между ними) две сосредоточенные самоуравновешенные единичные силы
P = 1 по прямой, соединяющей данные точки;
• взаимного угла поворота двух сечений два сосредоточенных самоуравновешенных единичных момента m = 1 в обоих сечениях.
При вычислении перемещений в пространственных стержневых системах в
формулу (1) нужно добавить члены, содержащие изгибающие моменты и поперечные
силы, которые действуют во второй плоскости изгиба, а также крутящие моменты.
Если перемещения вычисляются только от силового внешнего воздействия, то
формула Максвелла-Мора принимает вид
11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

∆ KP = ∑ ∫
+ ∑∫

M y 1M yP
M x 1M xP
M M
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫ z1 zP ds +
EI x
EJ y
EJ z

(2)

Qy 1QyP
N z1N zP
Q Q
ds + ∑ ∫ β x x 1 xP ds + ∑ ∫ β y
ds ,
EF
GF
GF

где M xP , Q xP , N xP и т. д. - аналитические выражения внутренних силовых факторов
от заданной нагрузки; M x 1 , Q x 1 , N x 1 и т. д. - аналитические выражения внутренних
силовых факторов от единичной силы (момента).
В большинстве случаев можно ограничиваться первыми тремя членами формулы
(2), пренебрегая влиянием продольной и поперечных сил.
Как правило, перемещения от различных воздействий определяются раздельно.
Поэтому рассмотрим далее отдельные виды внешних воздействий.
2.1.1. Перемещения от внешнего силового воздействия

В формуле (1) следует оставить только первые три слагаемые:

∆ KP = ∑ ∫

M K MP
N K NP
Q Q
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫ β K P ds .
EI
EF
GF

(3)

Для вычисления перемещений по формуле (3) необходимо:
A. Определить аналитические выражения внутренних усилий MP , QP , N P от действия заданной внешней нагрузки и построить при необходимости их эпюры.
B. Определить аналитические выражения внутренних усилий M K , Q K , N K от единичного силового фактора и при необходимости построить их эпюры.
C. Вычислить интегралы в формуле (3) одним из приведённых ниже способов.
Таким образом, при определении перемещений рассматриваются два напряжённо-деформированных состояния:

действительное от заданной нагрузки;

вспомогательное от единичного силового фактора.
В большинстве случаев для --">