Эмиль Тофик оглы Ахмедов - Лекции по специальной теории относительности и классической электродинамике

ñ îäíîé ÷àñòîòîé. À ó÷åò ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííî íîâîìó ýåêòó  êîíå÷íîé øèðèíå ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ïðè ýòîì

Γ íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé

øèðèíîé ëèíèè.

Íà ñàìîì äåëå â åñòåñòâåííóþ øèðèíó ëèíèè åñòü åùå è äðóãèå âêëàäû, ïîìèìî òîãî,
÷òî ìû ó÷ëè. Íàïðèìåð, çà ñ÷åò ñòîëêíîâåíèé è òåïëîâîãî äâèæåíèÿ. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
áîëåå òî÷íûé êâàíòîâî òåîðåòèêî ïîëåâîé ðàñ÷åò ëèíèè ñïåêòðà äëÿ àòîìíûõ ñèñòåì äàåò
òàêóþ æå îðìó ëèíèè ñïåêòðà, íî ñ äðóãèì çíà÷åíèåì

Γ. Ò.å. íàøè âûêëàäêè êà÷åñòâåííî

âåðíî îòðàæàþò ðåàëüíóþ êàðòèíó.

5.

Òåïåðü ðàññìîòðèì òó æå çàäà÷ó î ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå, íî óæå â äðóãîé

ïîñòàíîâêå, êîãäà íà ýòîò îñöèëëÿòîð äåéñòâóåò âíåøíåå ÝÌ ïîëå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Òîãäà ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû ÷àñòèöà ñòàíåò ñîâåðøàòü âûíóæäåííûå
êîëåáàíèÿ, äâèãàÿñü óñêîðåííî, è òåì ñàìûì, èçëó÷àÿ ÝÌ âîëíû. Ýòè âîëíû íàçûâàþòñÿ
ðàññåÿííûìè âîëíàìè, à ñàì ýòîò ïðîöåññ  ïðîöåññîì ðàññåÿíèÿ ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû
îñöèëëÿòîðîì (èëè êàêîé ëèáî äðóãîé àòîìíîé ñèñòåìîé).
àññìàòðèâàÿ ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí, â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íóæíî äîáàâèòü ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ ïîëåì
âîëíû:

~r¨ +

ω02 ~r

e
=
m


h
i
1
2 e2 ...
~
~0 +
~0
~r .
E
~v × B
e−i ω t+i k ~r +
c
3 m c3

 òàêîì âèäå óðàâíåíèå ñëèøêîì ñëîæíî. Âîïåðâûõ ó÷òåì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå âõîäèò ñ
àêòîðîì

v/c ≪ 1,

ò.ê. ìû ðàññìàòðèâàåì íåðåëàòèâèñòñêèé ñëó÷àé, è ÷ëåí ñ ìàãíèòíûì

ïîëåì ìîæíî îòáðîñèòü â ãðóáîì ïðèáëèæåíèè. Äàëåå, áóäåì ñ÷èòàòü àìïëèòóäó êîëåáà-

”a” ýëåêòðîíà ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû, ò.å. a ≪ λ, ÷òîáû â
àçå âîëíû ìîæíî áûëî áû ïðåíåáðå÷ü (~
k, ~r) ∼ a/λ ≪ 1 ïî ñðàâíåíèþ ñ ω t. Òîãäà èìååì:

íèé

2 e2 ...
e ~ −i ω t
e
+
~r .
~r¨ + ω02 ~r = E
0
m
3 m c3
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè è â
âèäå ~
r = ~r0 e−i ω t , îòâå÷àþùåì âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì. Ïîëó÷èì:

çäåñü

Γ=



e ~
~r0 −ω 2 + ω02 − i Γ ω = E
0,
m

2 e2 ω 2
è â ïðèíöèïå çàâèñèò îò ÷àñòîòû âíåøíåãî ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì,
3 m c3

~r(t) = Re

~ 0 e−i ω t
eE
.
m (ω02 − ω 2 − i Γ ω)

Äàëåå, âû÷èñëÿÿ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ äèïîëüíîãî ìîìåíòà êîëåáëþùåéñÿ ÷àñòèöû

¨
d~ = −
ïîëó÷àåì

~ 0 e−i ω t
e2 ω 2 E
,
m (ω02 − ω 2 − i Γ ω)

127

¨
d~ = e ~r¨

1
dI
=
dΩ
8 π c3

h
i
¨
d~ × ~n

2

2

~ 0 sin2 θ
e4 ω 4 E
h
i
=
2
8 π c3 m2 (ω02 − ω 2) + Γ2 ω 2

 ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ âîëí îñöèëëÿòîðîì ïî óãëàì.
Ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ îáû÷íî õàðàêòåðèçóåòñÿ ýåêòèâíûì äèåðåíöèàëüíûì ñå÷åíèåì ðàññåÿíèÿ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ïîòîêà ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ â
äàííûé ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà ê ïîëíîìó ïîòîêó ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ:

dσ
1 dI
=
.
dΩ
~ dΩ
S

(192)

2

Çäåñü

~ = c E
~ 0 /8 π
S

 ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè â ïàäàþùåé âîëíå. Ó÷èòûâàÿ ýòè

îðìóëû, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå

dσ
=
dΩ



e2
m c2

2

ω 4 sin2 θ
2

(ω02 − ω 2 ) + Γ2 ω 2

,

(193)

êîòîðûì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè èçó÷åíèè ðàññåÿíèÿ âîëíû ñ ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèåé.
àññìîòðèì òåïåðü îäèí ÷àñòíûé âàæíûé ñëó÷àé ñâîáîäíîãî çàðÿäà. Ò.å. êîãäà
ê òîìó æå

Γ ≪ ω , ò.å.

ìîæíî ïîëîæèòü

Γ = 0. Äëÿ ñâîáîäíûõ

ω0 = 0 è

çàðÿäîâ äèåðåíöèàëüíîå

ñå÷åíèå èìååò âèä:

dσ
= re2 sin2 θ,
dΩ
à ïîëíîå ñå÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé Òîìñîíà:

σ≡

Z

dσ
dΩ =
dΩ

Z

re2

2

sin θ dΩ =

8π
=
3
3

4
2 π re2



e2
m c2

2

6. Îïðåäåëèì òåïåðü ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè.

(194)

Íåòðóä-

íî ñîðìóëèðîâàòü óñëîâèå ìàëîñòè ðàäèàöèîííîé ñèëû ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåøíåé ñèëîé

F~0 ,

êîòîðàÿ òî æå èìååò ÝÌ ïðèðîäó. Çàïèñûâàÿ

íàõîäèì â íóëåâîì

 ìãíîâåííî

i
e h
~
~
~
~v × B0 ,
F0 = e E0 +
c
~rad :
ïðèáëèæåíèè ïî F

˙
i
e h
e ~˙
e h˙ ~ i
F~
˙
¨
~
~v × B0 .
~v × B0 +
=
E0 +
~v =
m
m
mc
mc
~ 0 /m. Ñëåäîâàòåëüíî,
ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ~
v = 0, à ~v˙ = e E
i
2 e4 h ~
2 e2 ¨
2 e3 ~˙
~
~
~ 0.
E0 +
Frad ≡ 3 ~v =
E0 × B0 ≪ e E
3c
3 m c3
3 m2 c4
128

 ïåðèîäè÷åñêîì âíåøíåì ïîëå ñ ÷àñòîòîé



~˙ 0 = Re −i ω E
~0 .
~ 0 ∼ Re e−iω t , E
ω èìååì, ÷òî E

Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì äâà óñëîâèÿ:
1.

e3 ω/m c3 ≪ e ⇒ e2 /m c2 ≪ c/ω ∼ λ0 ⇒ re ≪ λ0

 äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ ãîðàçäî

áîëüøå êëàññè÷åñêîãî ðàäèóñà --">