Эмиль Тофик оглы Ахмедов - Лекции по специальной теории относительности и классической электродинамике

ñòåí-

ñìåùåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî øàðèêîâ èç

ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ øàðèêîâ èìåþò âèä:



m ẍ1 = −k x1 − k (x1 − x2 ) = −2 k x1 + k x2
m ẍ2 = −k x2 − k (x2 − x1 ) = −2 k x2 + k x1

ß õî÷ó ðåøèòü ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî

x2

(190)

è íàéòè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òîëü-

êî äëÿ ïåðâîãî èç øàðèêîâ  äëÿ x1 . Äâàæäû ïðîäèåðåíöèðîâàâ ïåðâîå óðàâíåíèå,
....
ïîëó÷èì m x 1 = −2 k ẍ1 + k ẍ2 . Ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííîå óðàâíåíè ẍ2 èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ:

124

èñ. 13:

....

m x 1 = −2 k ẍ1 +
Ïîäñòàâèì â ýòî óðàâíåíèå

x2 ,

âûðàçèâ åãî

k
(−2 k x2 + k x1 ) .
m
÷åðåç x1 è ẍ1 èç ïåðâîãî

óðàâíåíèÿ ðàññìàò-

ðèâàåìîé ñèñòåìû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òîëüêî íà

x1 :

....

m x 1 = −4 k ẍ1 − 3 k x1 .
Ò.å., ÿâíî èñêëþ÷èâ èç ðàññìîòðåíèÿ îäíó èç ÷àñòèö, äëÿ äðóãîé ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå,
ñîäåðæàùåå áîëåå âûñîêèå ñòåïåíè ïî ïðîèçâîäíûì, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïðèâîäèò ê
ñàìîóñêîðÿþùèìñÿ ðåøåíèÿì.
Àíàëîãè÷íî ïðè ïîèñêå ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, ìû ðåøèëè ñèñòåìó óðàâíåíèé
(187) îòíîñèòåëüíî ÝÌ ïîëÿ

Aµ

è ïîäñòàâèëè ýòî ðåøåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå äëÿ ìè-

ðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû. Ïîýòîìó ìû ïîëó÷èëè áîëåå âûñîêóþ, ÷åì âòîðàÿ ñòåïåíü ïî ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè. Áîëåå òîãî, â îòëè÷èè îò ðàññìîòðåííîé òîëüêî ÷òî ìåõàíè÷åñêîé
ñèñòåìû, äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèöàïîëå ìû ýòî ñäåëàëè òîëüêî ïðèáëèæåííî.
 ëþáîì ñëó÷àå, êîãäà ñèëà ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ âõîäèò â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êàê
ìàëàÿ äîáàâêà ê âíåøíèì ñèëàì, îïèñûâàåìàÿ ïî ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé,
òîãäà îíà äàåò èçè÷åñêè îñìûñëåííûå ðåçóëüòàòû. Ýòó ñèëó èñïîëüçóþò, ò.ê. â íåêîòîðûõ
ïðèëîæåíèÿõ îíà î÷åíü óäîáíà, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì.

4.

Ó÷åò ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê íåêîòîðûì êà÷åñòâåííûì ýåêòàì

ïðè ðàññìîòðåíèè èçëó÷åíèÿ è ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè. Êîíå÷íî èçëó÷åíèå, ïîãëîùåíèå è ðàññåÿíèå ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè  ýòî ñóãóáî êâàíòîâûå
ïðîöåññû, ïîñëåäîâàòåëüíîå îïèñàíèå êîòîðûõ âîçìîæíî òîëüêî íà îñíîâå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Íî ìíîãèå êà÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ ÿâëåíèé õîðîøî ïåðåäàþòñÿ
ìîäåëüþ âçàèìîäåéñòâèÿ ÝÌ âîëí ñ ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì  çàðÿäîì, êîëåáëþùèìñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû

óêà, êîòîðàÿ ìîäåëèðóåò ðåàëüíóþ ñèëó â àòîìíîé ñèñòåìå.

Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ýëåêòðîíà ïîä äåéñòâèåì óïðóãîé ñèëû ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì:

125

m ~r¨ + m ω02 ~r = 0
Åñëè áû íå áûëî èçëó÷åíèÿ, ýòî óðàâíåíèå òî÷íî îïèñûâàëî áû ïîâåäåíèå ÷àñòèöû, è ìû
èìåëè áû äåëî ñ íåçàòóõàþùèìè ãàðìîíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè ñ ÷àñòîòîé

ω0 .

Íî ðåàê-

öèÿ íà èçëó÷åíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, êîòîðóþ ñëåäóåò
äîáàâèòü â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ:

2 e2 ...
~r .
~r¨ + ω02 ~r =
3 m c3
 ïðèíöèïå ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ðåøèòü òî÷íî, íî ò.ê. ìû â ëþáîì ñëó÷àå ðåøàåì ýòó çàäà÷ó ïðèáëèæåííî, òî áóäåì èñêàòü åå ðåøåíèå ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé,
r¨ = −ω02 ~r, ïîýòîìó
ñ÷èòàÿ ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ìàëîé.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ~
...
2˙
~r = −ω0 ~r. Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ äî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ òðåíèåì:

~r¨ + Γ ~r˙ + ω02 ~r = 0,
2 e2 ω02
≪ ω0 , åñëè õàðàêòåðíàÿ äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ
3 m c3
óðàâíåíèÿ èìååò âèä

ãäå

Γ =

λ 0 ≫ re .

åøåíèå ýòîãî

~r(t) = Re ~r0 e−i ω t ,
ãäå

|~r0 |

 íà÷àëüíàÿ àìïëèòóäà îñöèëëÿöèé, à

i
ω 2 − i ω Γ + ω02 = 0 ⇒ ω ≈ − Γ + ω0 ,
2
åñëè

Γ ≪ ω0 .

Òàêèì îáðàçîì,

Γ

~r = Re ~r0 e− 2 t−i ω0 t .

Ïîñêîëüêó ïîëå èçëó÷åíèÿ â âîëíîâîé çîíå ïðîïîðöèîíàëüíî
~ 0 e− Γ2 t−i ω0 t . Ôóðüå êîìïîíåíòû òàêîãî ïîëÿ ðàâíû
E

~ω =
E

Z

+∞

~ ei ω t =
dt E(t)

0

¨
d~ ∼ ~r¨ = −ω02 ~r,

òî

~
E(t)
=

~0
E
.
i (ω − ω0 ) − Γ2

Ò.å. èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ñ äàííîé ÷àñòîòîé èìååò âèä:

~ω
Iω ∼ E

2

Èç òîãî, ÷òî ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü ðàâíà

∼

1
(ω − ω0 )2 +

I0 ,

Γ2
4

íàõîäèì êîýèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè

â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè:

I0 = C

Z

∞
−∞

dω
(ω − ω0 )2 +

Γ2
4

=C

2π
Γ

Ñëåäîâàòåëüíî:

Iω =

I0
Γ
2 π (ω − ω0 )2 +
126

Γ2
4

.

(191)

Òàêàÿ îðìà ñïåêòðà íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâîé ëèíèåé.

Γ → 0, ò.å. ðåàêöèÿ íà èçëó÷åíèå îòñóòñòâóåò, òî Iω = I0 δ(ω −ω0 ), ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü îäíèì èç îïðåäåëåíèé δ óíêöèè, ïðèâåäåííîì íà îäíîé èç ïðîøëûõ ëåêöèé.
Åñëè

Êàê âèäíî, â ýòîì ñëó÷àå îñöèëëÿòîð èçëó÷àåò òîëüêî --">