Александр Григорьевич Мордкович , Андрей Рафаилович Рязановский , Павел Владимирович Семёнов , Николай Петрович Николаев , Лидия Александровна Александрова , Леонид Исаакович Звавич - Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 2

1; -1 ;

Укажите, какая из данных последовательностей является убыва­
ющей:
а) -4; -7; -10; ... ;
в) 2 1; 2"2; 2“3; ... ;

ГЛАВА 4.

ПРОГРЕССИИ

а) Найдите несколько начальных членов возрастающей последо­
вательности всех натуральных чисел, кратных пяти. Укажите
её шестой, девятый, двадцать первый, n-й члены.
б) Найдите несколько начальных членов возрастающей последо­
вательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите
её восьмой, десятый, тридцать седьмой, n -й члены.
а) Известно, что (ол) — возрастающая последовательность кубов
всех натуральных чисел. Найдите а1г а2, а3, а4, а„.
б) Известно, что (с„) — возрастающая последовательность всех
натуральных степеней числа 2. Найдите clt с2, с3, с4, сп.
Числовая последовательность задана формулой с„ = Зп - 9. Вы­
числите первые четыре члена последовательности и определите,
возрастающей или убывающей она является.
I Числовая последовательность задана формулой хп = 6 - 1,5п. Вы­
числите первые три члена последовательности и определите, воз­
растающей или убывающей она является.
Докажите, что последовательность (уп) является возрастающей,
если:
а) уп = 3п + 4;
в) у„ = 7 п - 2;
б) у„ = 5л2 - 3;
г) уп = 4л2 - 1.
Докажите, что последовательность (уп) является убывающей,
если:
а) уп = -2л - 3;
в) уп = 4 - 5л;
г) у п = - л 3 + 8.
б) уп = -З л 3 + 4;
Докажите, что возрастает последовательность:
1

dn = л + Г

б)

■ Докажите, что убывает последовательность:
а) 0,1 = 2 л ’
б)

ь =

г) dn =

Hi
S 22. Свойства числовых послед!

Определите характер монотонности числовой последовательно­
сти (у п), если:
а) у„ = л2 - 2л + 3;
в) у„ = л2 + 8п - 3;
б) уп = -л 2 - 4л + 5;
г) уп = - л2 + 2п - 1.
Для каждой из следующих последовательностей составьте выра­
жение ап + t - ап, сравните это выражение с 0 и сделайте вывод о
монотонности последовательности:
а) ап = 5л + 327;
в) а„ = 5л2- 7л + 1;
б) ап = 5л2- 17л + 1;
г) ап = Зп ~ 1
Для каждой из следующих последовательностей с положи+1
тельными членами составьте выражение -----, сравните это выап
ражение с 1 и сделайте вывод о монотонности последователь­
ности:
а) ап = (2,3)";
в) ап = (0,9)";
б) ап = (0,53)

\2 п

- 5.

Исследуйте последовательность на монотонность:

• Щ

б)

К =

Зп + Г

Ч2.24Ш 0Й а) а„ = Зл2 + 1;
б) ап = Зл2 + 5л - 13;
22.25>Ш*Ж а) ап = Зл - ^ - 11;
б) а„ = 2л+ (-1)";

[22.26]^ М а) ап =
б)

к

=

П2 + 1

Г) Рп = „2

Дана возрастающая последовательность (а п). Исследуйте на моно
тонность последовательность:
а) Ьп - 3 а п + 3;
б) Сп = Зга + а „;

в) Ъп --= 4 - 0 ,7 а „
г) Рп == а п - Зга.

а) dn = пап;

В) R n

б) К = (а п)2 + 3 ;

Г)С?Л == га + >/а 7 .

-

5 l у.
п

При каких значениях параметра а последовательность является
возрастающей; убывающей:
а ) 6„ = ап + 11;
в) Ьп = 13 - ап2-,
б) Ьп = -га2 + (8 - а 2)п + 17;
г) Ъп = 2 п2 - а п - 23?
Дана последовательность ап = л2. Исследуйте на монотонность и
ограниченность последовательность:
а) аП;

б)Ьп = а п+ 1 - ап;

в) с„ = — ;
an

г) dn =

ап

Дана последовательность ап = —-+ . Исследуйте на монотонность
п

и ограниченность последовательность:
а) а„;

б)Ьл = а л + 1 - а п;

в) с„ = — ;
ап

г) d = 5*±1
ап

Укажите какой-либо номер, начиная с которого для всех чле­
нов последовательности а„ = п2 - 60п + 59 выполняется условие
а* + 1 > а* (с этого номера последовательность возрастает).
Укажите какой-либо номер, начиная с которого для всех членон
последовательности а„ = -Зга2 - 97л + 100 выполняется условие
ак 4 1 < а* (с этого номера последовательность убывает).
Л2
Для последовательности а п = — найдите такое k, что ^±1 > ],

2 ’'

аь

°*+ 1

а) Докажите, что последовательность периметров правильных
вписанных в окружность 2" + '-угольников является возрастаю
щей и ограниченной.
б) Докажите, что последовательность периметров правильных
описанных около окружности 2" + ‘ -угольников является убы
вающей и ограниченной.

!Г' “1

§23. Арифметическая прогрессия

э-

31

£

Прочитайте п. 1 в § 23 учебника
gj Определите, является ли приведённая ниже последовательность
арифметической прогрессией:
а) 13, 10, 7, 4, 1, -2, ...;
в) 3, 1, 3, 1, 3, 1,
б) 3, 0, -3, -6 , -8 ,
г) -7, -5 , -3 , -1, 1, ....

10.1

I

[
!3.4

S3.5

щ

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:
а) 3, -1 , -5, -9 , ...;
в) 0,7,
0,9, 1,1, 1,3, ...;
6 ) 7 , 4, 1, - 2 , . . . ;
г ) - 1 , -0 ,9 , -0 ,8 , -0 ,7 ..........

I

g Выпишите первые шесть членов --">