Александр Григорьевич Мордкович , Павел Владимирович Семёнов , Николай Петрович Николаев - Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1

двойного нер^
венства можно опустить как очевидную.
Итак, верно неравенство | f(b)\ < с, а это значит, что х = Ь — частн^
решение неравенства |f(x)\ < с.
Вывод: при с > 0 неравенства |/(д:)| < с и -с < f(x) < с раВ№г
сильны.
2. Пусть с > 0 и пусть х = а — частное решение неравенств
!f(x)| > с, т. е. верно числовое неравенство |/(а)| > с. Если f(a) > о с можно переписать так: /(а) > (■
Если /(а) < 0, то |Да)| = -/(а) и неравенство \f(a)\ > с можно переписав
так: - f(a) > с, т. е. f(a) < -с.
Итак, в любом случае значение х = а удовлетворяет либо пер5'
венству f(x) > с, либо неравенству f(x) < -с. Значит, х = а — частног
решение совокупности неравенств: f(x) < -с; f{x) > с.
Пусть, обратно, х - Ь — частное решение совокупности неравенств
fix) < -с; fix) > с. Это значит, что либо fib) < -с, либо fib) > с — Bejr
ное числовое неравенство. Первое неравенство можно переписать га£:
-fib) > с. Поскольку |/(6)| равен либо fib), либо -fib), получаем,
|/(fo)| > с.
Итак, верно неравенство |/(6)| > с, а это значит, что х = b — частно?
решение неравенства |/(л)| > с.
Вывод: при с > 0 неравенство |/‘(х)| > с равносильно совокупноса>)
неравенств fix) < -с; fix) > с.
3. Пусть gix) > fix) > 0 и пусть х - а — частное решение неравец
ства fix) < gix), т. е. верно числовое неравенство Да) < g(a). Поскольк)

§5. Неравенства с модулями

43

обе части этого неравенства неотрицательны, верно и неравенство
(/(а))2 < (£(а))2. Это значит, что х = а — частное решение неравенства
(/(х))2 < (g(x))2.
Пусть, обратно, х = Ь — частное решение неравенства (/(х))2 < (g(x))2,
т. е. (/(ft))2 < (#(ft))2 — верное числовое неравенство. Это неравен­
ство можно преобразовать к виду (/(ft) - g(b))(f(b) + g(b)) < 0. Но из
условия следует, что /(ft) + g{b) > 0. Значит, неравенство (f(b) - g(b))(f(b) +
+ g(ft)) < 0 можно преобразовать к виду /(ft) - g(b) < 0, т. е. к виду
/(ft) < g(b). Это значит, что х = ft — частное решение неравенства /(х) <
< £(х).
Вывод: если g(x) > f(x) > 0, то неравенства /(х) < g(x) и (/(х))2 <
< (£(х))2 равносильны.

Решение неравенств вида
Пусть требуется решить неравенство |/(х)| < g(x). Освободиться от
знака модуля можно тремя способами.
Первый способ. Если /(х) > 0, то |/(х)| = /(х), и заданное неравен­
ство принимает вид f(x) < g(*). Если f(x) < 0, то |/(х)| = -/(х), и за­
данное неравенство принимает вид —
-/(х) < g(x). Таким образом, зада­
ча сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
/(х) > О,
/(х) < g(x);

/(х) < 0,
-/(х ) < g(x).

Второй способ. Перепишем заданное неравенство в виде
g(x) > |/(х)|. Отсюда сразу следует, что g(x) > 0. Воспользуемся тем,
что при g(x) > 0 неравенство |/(х)| < £(х) равносильно двойному нера­
венству -gtx) < f(x) < g(x) (утверждение 1). Это позволит свести нера­
венство |/(х)| < g(x) к системе неравенств

Третий способ. Воспользуемся тем, что при g(x) > 0 обе части
неравенства |/(х)| < g(x) неотрицательны, а потому согласно утверж­
дению 3 их возведение в квадрат есть равносильное преобразование
неравенства. Учтём, кроме того, что |а|2 = а 2. Это позволит свести
неравенство |/(х)| < £(х) к системе неравенств

ГЛАВА 1. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

ПРИМЕР 1

Решить неравенство | х2 - Зх + 2 1< 2х - х2.
Решение

ж

Первый способ. Заданное неравенство равносильно сово­
купности двух систем неравенств:
| х 2 - Зх + 2 > 0,
J x 2 - Зх + 2 < О,
[х 2 - Зх + 2 < 2х - х2;
}-(х 2 - Зх + 2) < 2х - х 2.
Решая первую систему, получим

ж

{(* - 1)(* - 2) > О,
12(дг - 2)(х - 0,5) < О,
откуда находим (рис. 48):
0,5 < х < 1.
Решая вторую систему, получим

Я

ш

Рис. 48
Рис. 49

(х - 1)(х - 2) < О,
х < 2,

0,5

откуда находим (рис. 49):
1 < х < 2.
Объединив найденные решения систем неравенств, получим
0,5 < х < 2 .
Второй способ. Заданное неравенство равносильно системе нера­
венств
2х - х 2 > О,
х 2 - Зх + 2 < 2х - х 2,
х 2 - Зх + 2 > ~(2х - х 2).
Решая эту систему, получим
х(х - 2) < О,
2(х - 2)(х - 0,5) < О,
х < 2;

Рис. 50

О 0,5

0,5 < х < 2 (рис. 50).

Третий способ. Заданное неравенство равносильно системе нера­
венств
\ 2 x - x 2 > 0,

|( х 2 - Зх + 2)2 < (2х - х2)2.

§ S Неравенства с модулями

■ммннмЯввн

Решая эту систему, получаем:

х(х - 2) < О,

((х2 - Зх + 2) - (2х - х 2))((х2 - З х + 2) + (2х - х 2)) < 0;
х(х - 2) < О,

/'(«•. 5 1

и------ 1
0 0,5

2

2(jc - 0,5)(х - 2)2 > 0;
х

0,5 < х < 2 (рис. 51).

0,5 < х < 2.
I

ШШ

Решение неравенств вида

\f(x)\ > g(x)

Пусть теперь требуется решить неравенство |/(х)| > g[x). Освободить­
ся от знака модуля можно тремя способами.
Первый --">