Александр Григорьевич Мордкович , Павел Владимирович Семёнов , Николай Петрович Николаев - Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1

произведению предшествую­
щего и последующего членов.

В предыдущем параграфе мы получили характеристическое свой­
ство арифметической прогрессии: любой её член (кроме крайних) ра­
вен среднему арифметическому предыдущего и последующего чле­
нов. Обратимся теперь к характеристическому свойству геометриче­
ской прогрессии и выполним некоторые преобразования:
Ь2
п - b n-ibn + i’
,

\ьл\ = Jbi =
Число -Jab называют средним геометрическим чисел а и Ь. Таким
образом, последнее равенство означает, что модуль любого члена гео­
метрической прогрессии равен среднему геометрическому предыду­
щего и последующего членов. В такой формулировке аналогия между
характеристическими свойствами арифметической и геометрической
прогрессий становится отчётливей.

■ЕШШХ1Н
При каком значении х числа 10х + 7, 4х + 6 и 2х + 3 образуют гео­
метрическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству заданные выра­
жения должны удовлетворять соотношению
(4х + 6)2 = (10х + 7)(2х + 3).
Решим это уравнение:
16х2 + 48х + 36 = 20х2 + 44х + 21;
4х2 - 4х - 15 = 0;
х i = 2,5, х 2 = -1 ,5 .
Подставляя хх = 2,5 в заданные выражения 10х + 7, 4х + 6, 2х + 3,
находим соответственно: 32, 16, 8. Это конечная геометрическая
прогрессия. Подставляя х2 = -1 ,5 в заданные выражения 10х + 7,
4х + 6, 2х + 3, находим соответственно: -8 , 0, 0 — это не геометриче­
ская прогрессия.
2,5.

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

Разные задачи на прогрессии

ИИВЯЯЙ

Взяли три числа, которые образуют конечную возрастающую гео­
метрическую прогрессию. Заметили, что если второе число увели­
чить на 2 , а первое и третье числа оставить без изменения, то полу­
чится арифметическая прогрессия. Если после этого третье число
увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Ка­
кие три числа были взяты сначала?
________ Условия задачи можно кратко записать так:
1) а Ь\, Ь2, Ь3,
2) + Ъи Ь2 + 2, Ь3;
3) by, b2 + 2, i>3 + 9.
Согласно характеристическому свойству арифметической про­
грессии условие 2 ) означает, что
. о _

h

+ьз .

2

’

2 (bxq + 2) = Ьх + bxq2;
M l + Я2 - 2q) = 4.
Согласно характеристическому свойству геометрической прогрес­
сии условие 3) означает, что
(&2 + 2)2 = М&з + 9);
( М + 2)2 = М М 2 + 9);
bfq2 + 4 bxq + 4 = b[q2 + 9М
fe,(9 - 4q) = 4.
Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя пере­
менными bi и q:
\b1(l + q2 - 2 q ) = 4,
[ M 9 - 4 g ) = 4.

Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:
M l + Ф - 2?) = М 9 - 4(7);
1 + q2 - 2q = 9 - 4q
(мы разделили обе части уравнения на число М отличное от нуля);
+ 2q - 8 = 0 ;
--">