Иван Матвеевич Виноградов - Основы теории чисел: Учебное пособие

целого, превосходящего I , и нмеюшле 1 , 2 , . . .
простых делителей.
b. Пусть а—целое, а > l,d пробегает делители числа а, имеющие
не более чем т простых делителей. Доказать, что при т четном
^ t i W ^ ® ' ^ "Р"
нечетном У
c. При условиях теоремы с, § 4, считая все f неотрицательными
и заставляя d пробегать лишь числа, имеюшле не более чем т простых
делителей, доказать, что

в зависимости от того, будет л и т четным или нечетным.
d . Такие же, как в вопросе с, неравенства доказать при условиях
вопроса 17, а, считая все значения f(x) неотрицательными, а также
при условиях 17, Ь, считая все значения f (xi, xi
Xh) неотрицательными.
24. Пусть е — л ю б о е постоянное с условиями 0 < е < - ^ ,
г=1п//, 0 < ( 7 < / / 1 - 8 , 0 < / < 9 ,
простых чисел с условиями: p^N,
зать, что

N^8,

(9, /) = 1, n(N,
q, /)—число
p=qt + l, где t—целое.
Дока-

Д л я доказательства, полагая ft=ri-®.®8 , простые числа с указанными условиями следует рассматривать как частный случай всех
чисел с этими условиями взаимно простых с а, где а—произведение
всех простых, не превосходящих е * и не делящих д. Следует применить теорему вопроса 23, d (условия вопроса 17, а) с указанным а и
/л-=2[2 n r + I ] ,
25. Пусть k—четное:
к > О, каноническое разложение числа а
имеет вид a = p i p g . . Pk « d пробегает делители числа а с условием
О < d < У ^ . Доказать, что

d
26. Пусть k—целое, k > О, d пробегает делители числа с условием
ф(« О, (а, Т ) = 1.
M+m-i

S=

s
*=м

{/W).

где в интервале
Л ! + / n — 1 функция / ( * ) имеет непрерывные производные f (дг) и f (дг), причем выполняются условия

(а.т) = и
где

|e| О,
В—вещественное. Доказать, что

M+m-i
х=М

5, а. Пусть у 4 > 2 , fc^I н в интервале Q ^ * ^ / ? функция
/ (дс) имеет вторую непрерывную производную, удовлетворяющую
условиям

Доказать, что

0 . Обозначая
символом ( о ) численное значение разности между а и ближайшим
к а целым числом (расстояние а до ближайшего целого), доказать, что

M + P-i

2niax

f2

1 и функции М (а) м Р (а) д л я значений а = 1, 2, . . . , т — I принимают целые значения с условием
Р (а) > 0. Доказать, что
т-1

Д1(.)+Р(а)-1

1
а=1

2J
х=М(а)
/•mlnm,

О, | пробегает приведенную систему вычетов по модулю т . Доказать, что
ц(т) =

2 е

т

'

b. Пользуясь теоремой вопроса а, доказать первую из теорем с,
§ 4, гл. И (см, решение вопроса 28, а, гл. П ) .
c. Теорему вопроса а вывести, пользуясь теоремой вопроса 17.
а, гл. П .
d. Пусть
S

а. ...,

6

бдс«...а)в

— многочлен с целыми коэффициентами от г переменных х,
...
. . . , w ( r ^ I ) , а — ц е л о е , т — ц е л о е , m > О, дг, . . . , ш пробегают полные, а I , . . . , 1. Тогда, чтобы сравнение (1) имело решения, необходимо (е, § 3, гл. III),
чтобы Ь делилось на d, иначе сравнение (1) невозможно
ни при каком целом х. Предполагая поэтому b кратным d, положим a = aid, b = bid, m-tn-id. Тогда сравнение (1) бурет равносильно такому (по сокращ,ении Had):
UiX = bi {mod nil), в котором уже ( O i , и
потому
оно будет иметь одно решение по модулю т^. Пусть дс,—
наименьший неотрицательный вычет этого решения по
модулю т „ тогда все числа х, образующие это решение,
найдутся в виде
* = *x(modmi).

(2)

По модулю же т числа (2) образуют не одно решение, а
больше, именно столько решений, сколько чисел (2) найдется в ряде О, 1, 2, . . . , т — 1 наименьших неотрицательных вычетов по модулю т. Но сюда попадут следующие числа (2):
-f /Пх. Xi + 2mi

Xi +

{d—l)rni,

т. е. всего d чисел (2); следовательно, сравнение (1) имеет d решений.
d. Собирая все доказанное, получаем теорему:
Пусть la,m) — d. Сравнение ах = Ь (тойт) невозможно, если Ь не делится на d. При Ь, кратном d, сравнение
имеет d решений.
e. Обращаясь к разысканию решений сравнения (1),
мы укажем только способ, основанный на теории непрерывных дробей, причем достаточно ограничиться лишь
случаем {а, т ) = 1.

56

1ГЛ. IV

СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Разлагая в непрерывную дробь отношение т:а,
I

• = --">