Коллектив авторов -- Словари, Учебники, Пособия, Энциклопедии - Математика в таблицах. 5-11 классы. Справочные материалы

> b > 0, то i < - .

а

Ъ

Если a > b > 0 n c > d > О, то ас > bd .
Если а > b > 0 и m € ЛГ, то ат > Ьт .
Если a > b > O n m e N 9 то mJa > mJb
13

Двойное неравенство (а < Ь < с)

Сложение двойных неравенств
Если а < К с и р < / п < ^
то a + p < b + m < c + q.

Умножение двойных неравенств
с положительными членами
Если 0 < а < & < с и 0 < р < т < д ,
то ар О
- а , если а < О

Свойства модуля
|а| > О

М = 1«НЫ
|а + б| < |а| + |й|
-а| = |а|

И = м
\ь\
IM
|о - Ь| > ||а| - |6||

|а -Ь | = |г>-а|
в 2 + Ь2 > 2|а1>|
14

ФУНКЦИИ
Линейная функция у = к х + Ь

15

Дробно-линейная функция
у = - (к

* 0 , * * О)

X

(обратная пропорциональность)

График — гипербола.
Оси симметрии — прямые у = х и у = —х.
Центр симметрий — начало координат (точка 0).

4

k> 0

Область определения:
0) и (0; +оо).
Функция убывает
на каждом
из промежутков
(—оо; 0) и (0; +°°).

у

(-о о ;

х)
X

—

k< 0
Область определения:
0) U (0; + оо).
Функция возрастает
на каждом
из промежутков
(-о о ; 0) и (0; + о о ).
(-о о ;

16

у<
у=AJ
.

~~
0

Г

Квадратное уравнение

ах2 + Ьх + с = О

Дискриминант: D = ft2 - 4ас,
D > О — два действительных корня,
D — О — один действительный корень,
D < О — нет действительных корней.
Формула корней

Свойства корней
(теорема Виета)

Квадратное уравнение ах2 4- Ьх + с = 0

^
Х*-2

-b ± J b 2-4 a c
2в

х л 4- х 2 — ~ 1
z
а
*1 ' *2= 1

Приведенное уравнение (а = 1)
х2 + рдс + q = 0
*1 + *2 = -р
■* 2 = q
Уравнение с четным вторым коэффициентом
(Ь = 2k)
а х2 4- 2Ах 4- с = 0

_
- k± Jk2- ас
-*1 9 “
а

2 - Математика в табтшцах

X! ' Х2 = £
17

Квадратный трехчлен

ах2 + Ьх + с

Корни квадратного трехчлена:
„

*» ■*

•
•

_ - Ь± Jb 2 - 4ас

Та--------

Чтобы найти корни квадратного трехчлена,
нужно решить соответствующее квадратное
уравнение ах 2 + Ьх + с = О.
Разложение квадратного трехчлена
на множители
D< 0
D> 0
D= 0

Не раскладывается
ах 2 + Ьх + с = а(х -

jc1)(jc -

х2)

ах 2 + Ьх + с = а(х - x t)2
Выделение квадрата двучлена
из квадратного трехчлена
ах 2 + Ьх + с =
= «(** + * * + О =
V
а
а.'

= а('(х 2 + 2- ± -х + -5 1 ) + £ - i i ) =
2а
4 а2'
а
4а2'
= а (х + ь ) 2 + 4 ас ~ ь2
^
2а'
4а2
18

Квадратичная функция у = ох2 + Ьх + с

График — парабола.
Ось симметрии — прямая х = х0,
а > 0 — ветви вверх, при х0 —
наименьшее значение.
а < О — ветви вниз, при х0 —
наибольшее значение.
Координаты вершины параболы: х0 = - А , Уо = у(х0).

Ч

Корни функции (или нули функции) — это точки
пересечения графика функции с осью Ох.
щ Корни функции определяются как корни
Т соответствующего квадратного уравнения
# ах2 4- Ьх + с = О
а

0

>

а

У* к

D > 0
Два
корня

0

V1

XJ

J x2 у

*

Уji

D < 0
Нет
корней

и

о

V7
н

0 = 0
Один
корнь

< 0

Уi k
* i = *2

X

У, к

\
0

/1
0

X

Уi i

J

0
X

i

19

Квадратное неравенство
Решение квадратного неравенства:

1) найти корни соответствующего квадратного
уравнения ах2 + Ъх + с = О;
2) схематично изобразить график квадратичной
функции у = ах 2 + Ьх + с;
3) записать промежутки, на которых
квадратичная функция положительна
(неравенство ах2 + Ъх + с > О) или отрицательна
(неравенство ах2 + Ьх + с < 0).
(Т) ах2 + Ьх + с > 0
D > 0

\ /.
а >0
(D

D = 0

D < 0

ЧУ .
(-ОО; X l) U

(х2; + ° ° )

U ( х х; + оо)

и

[дгх; * 2]
D > 0

/V
(*1?

х 2)

20

U

[х2; + оо)

(—оо* +оо)

{*!>

0

D = 0

D < 0

*1=*2
/ \

■
/ \

0

0

(-о о ; + °°)

(-ОО; +00)

(- о о ; X j] U
®

Ч У

*1=*2

(- о о ; дсх) U

®

а < 0

(2) ах2 + Ьх + с < 0

j

Прогрессии
Арифметическая прогрессия
Формула л-го члена
Характеристическое
свойство

ап = а х + (п - 1)d
а п - 1 + а п+1

Сумма п первых
членов

Л

п

2а г + d { n - 1)
2
а1 +

Свойство

_

2

П

= а2 + а п - 1 =
= ак + ап - к

ап

Геометрическая прогрессия
Формула 71-го члена

ьп

= ь \ ■чп~1

Х арактеристическое
свойство
Сумма п первых
членов

Свойство
Сумма бесконечно
убывающей
геометрической
прогрессии (0 < |gr| < 1)

9 -1

"

= b1 - \ ~ qn
1-q
bi * bn = &2 ' bn - 1 = •••
... = bk - bn _ k

s = , Jb i-q
21

Средние величины
Среднее арифметическое
двух величин

а+ Ь
2

п --">