Коллектив авторов -- Словари, Учебники, Пособия, Энциклопедии - Математика в таблицах. 5-11 классы. Справочные материалы

всей области
определения.
Асимптоты: х = - 5 и х = 5 .
2
2

У\
к

1Г
2
-1 0

1 X

Значения тригонометрических функций
некоторых углов
а,

рад
30°

п

3п

2

2

60°

90°

180°

270°

Л

sm а

72

cos а

л
2

tg а

7з

ctg а

45°

п
3

не
опр.

7з

2

-1

Л

7з
Л

не
опр.

не
опр.
не
опр.

Соотношения между обратными
тригонометрическими функциями
arcsin х = -arcsin (-х) = 5 - arccos х
arccos х = п - arccos (-х) = ^ - arcsin х
arctg х = -arctg (~х) = ^ - arcctg х
arcctg х = я - arcctg (-х) = ^ - arctg х
37

Интеграл

Неопределенный интеграл — это выражение
F(x) + С для всех первообразных функций
от данной функции Дх):
Fix) + С = j tix)dx
Основное свойство
(jf (x ) d x )' = fix)
Интегралы некоторых функций
jkdx = k x + C

j*cos xdx = sin x + C

Г
гЛ+ l
_
f xndx = x
+ C

Jsinxdx = —cos x + C

J Idx = In И + C

f 1 dx - tg * + C
Jcos~r

je xdx = e* + C

f—i —d i = -c tg x + C

\azdx = — + C
J
In a

jig xdx = -ln|cos x| + C

и
■8
H

lnjsin x| + C

Основные правила интегрирования
I * • f{x)dx = k ■jf(x)dx
j(f(x ) + g{x))dx = jf(x)dx + jg(x)dx
38

Формула Ньютона-Лейбница
jf(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)j‘
Свойства определенного интеграла
jf(x)dx = 0
а
b

с

Ь

jf(x)dx = ff(x)dx + j7 (x )d x
а

а

с

b

a

jf(x)dx = -jf(x)dx
a

b

b

b

j k-f(x)dx = k jf(x)dx
a

a

b

b

b

j(f(x) + g(x))dx = jf(x)dx + Jg(x)dx
a

a
a

a
a

Если Дх) четная, то J f(x)dx = 2jf(x)dx .
.0

-a
a

Если Дх) нечетная, то J f(x)dx = 0.
ь

m(b —a) < J/(x )d x < M(b — a),
a

где М и т — наибольшее и наименьшее
значения Дх) на отрезке [а; 6].
39

Вычисления с помощью интеграла
Площадь криволинейной трапеции

40

Длина кривой

У>

1

№

ь

1= j j l +( f ' ( x) ) 4x
1
1

а

"о|

1
1 ^
Ъ
х

а

Площадь поверхности вращения

Vi
ь

S = 2 n |7(*W l+ (/'(*))2d*
{

(! |
0 hi/

!
6

w

X

Объем тела вращения

Vi

l

/(*)

ь
V

= n U f ( x ) ) 2d x
{

°

ж

41

Комбинаторика
Факториал
п\ = 1 • 2 ■3 * ... • п
Основное свойство факториала
тй = п * (п - 1)!
Размещения из п по m элементов

Соединения, отличающиеся самими элементами
или их порядком.
<

-

= п(п - 1)(п - 2) ... ( п - т + 1 )
Перестановки

Соединения, отличающиеся только порядком
элементов.
Р п = и! = 1 • 2 • 3 • ... • п;

Рп = Ап

Сочетания из п по т элементов

Соединения, отличающиеся только самими
элементами.
Q m

п
_

42

=

П\

т\(п - т)\

_

Ат

^П_

=

Рт

n(n - l ) ( n - 2). . . (п - т + 1)
1 • 2 • 3 *... • т

Свойства сочетаний
jW

л

п ~ ^п

/шт + 1 _ ^

/Л

, /^« + 1

Сл+ 1 ~ Сл + Сл

С®
л + c lл + С2
л + ... + с "л 1 + с "л = 2"
Бином Ньютона
(а + 6)" = о" + С* ап 1 Ь + С2 ап~2Ъ2 +

+ ... + С *ав-*5* + ... + Ь"

С„=п;

п(п - 1) .

С2п

2

Ck =

’

n

Л*

(n-k)\k\

Треугольник П аскаля

л= 0

1

л= 1

X

л= 2
л= 3

1

л= 4

1

л= 5

1

л= 6
п = 7

1
1

4
5

6
7

I
Ч /
1 2
1
\ /
3
3
1
6
10
15

21

4
10

20
35

1
5

15
35

1
6

21

1
7

1

По этой схеме определяются биномиальные
коэффициенты.
43

Комплексные числа
z = х + iy (i2 = - 1)
Re z = x - действительная часть комплекс­
ного числа,
Im z = у - мнимая часть коплексного числа.
Комплексно-сопряженные числа
z = а + ib

и

z — а — ib

Действия с комплексными числами
*1 + Z2 = (*! + х 2) + Цуг + у2)
*1

zl ’ z2

-

f l = *1*2
%

2

*2

“

(* 1

-

*

2>

+

^ 1

-

У

2

>

= (* 1*2 “ У1У2> + *(*1^2 + * 2У 1>

У1У2 + -* 2 У 1 - * 1 У 2

2
2
* 2 + ^2

2
2
* 2 + ^2

- 0>

,
2

Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел

44

Модуль коплексного числа
\г\ = г = J a 2 + Ъ2
Аргумент комплексного числа
Arg z = arg z + 2nk (k = 0, 1, 2, ...),
где arg z = cp — главное значение аргумента.
Показательная форма записи комплексных
чисел
z = rei(b
Формула Эйлера
>= cos ф + i sin ф
Произведение и частное комплексных чисел
* Г Ч - Г1Г2 *

i( --">