Коллектив авторов -- Словари, Учебники, Пособия, Энциклопедии - Математика в таблицах. 5-11 классы. Справочные материалы

:Ь = с
t t t
делимое | частное
делитель

6

0 :а

= 0
а : 1= а
На нуль делить нельзя

Правила арифметических действий
Переместительный закон
а + Ь = Ъ+ а
а - b = b *а
Сочетательный закон
а + (6 + с) = (а + Ь) + с
а - (& • с) —(а • 6) • с
Распределительный закон
а- (& + с) = а - 5 + а * с
а - ( Ь- с ) = а- Ь а - с
Признаки делимости

На 2: последняя цифра — четная (О, 2, 4, 6, 8).
Пример: 24, 248, Ж .
На 3: сумма цифр числа делится на 3.
Пример: 45 (4 + 5 = 9 — делится на 3);
Я6 (8 + 6 = 14 — не делится на 3);
На 4: число, составленое из двух последних
цифр, делится на 4 (00, 04, 08, 12 и т. д.).
Пример: 248, 512, Я 5 .
На 5: последняя цифра 0 или 5.
Пример: 340, 235, 1 S T .
На 9: сумма цифр числа делится на 9.
Пример: 198 (1 4- 9 + 8 = 18 — делится на 9);
J28T (2 + 8 + 1 = 11 — не делится на 9).
На 10: последняя цифра 0.
Пример: 1830, 2 0 1 7 .
На 25: число, составленное из двух последних
цифр, делится на 25 (00, 25, 50, 75).
Пример: 1375, 2 4 0 , -805, 650.
7

Н О К и НОД

Разложение чисел на множители
180

1368
684

®

90

342

45

®
2х

171

15
5

®

57

5

19
1

1

®
19 х

Наибольший общий делитель
НОД (1 8 0 ,1 3 6 8 ) = ® • © • ® • ® = 36

t

выписываем все
общие делители
чисел

в
•

НОД либо меньше данных чисел, либо равен
меньшему из них.
Наименьшее общее кратное
НОК (180,1368) = 2- 2 ' 3 ' 3 * 5 * 2 * 1 9 = 6840
__________ ♦

______ X f X

выписываем и не совпадаю­
все делители
щие с ними де­
меньшего
лители другого
числа
числа

I
•
8

НОК либо больше данных чисел, либо равен
большему из них.

Действия с обыкновенными дробями
Сложение
и вычитание:

а _|_ с _ а + с
Ъ Ъ
Ъ
а _ с _ а -с
Ь Ь
Ъ
а
с _ ad +Ъс
Ь d
bd
а _ с _ ad —be
b d
bd

дробей с общим
знаменателем
дробей с разными
знаменателями

Умножение

a . с = a -c
b d
b d

Деление

a , c _ a %d _ a • d
b d
b c
be

Положительные и отрицательные числа

I I I

I

I

I I I I

I

- 9 - 8 - 7 -6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0

H I-4

I

1

I

2

I 4I 5I 6I 7I 8I 9I *

3

|0| = 0 |2| = 2

Модуль числа равен расстоянию от нуля до
числа на координатной прямой.
Противоположные числа — числа с одинаковыми
модулями и разными знаками (5 и -5 , - 1 ,5 и 1,5).

\а\ = а, если а > 0
|а| = - а , если а < 0
\а - b\ = \b - а\

-а + а = 0
а + (-а ) = 0
а- а= 0
9

5£

5

S
2
2

х
л
с
0)
h

IО

с
С

10
с

1

3
*

о
о

Знак числа
с больш им
м одулем

+

а
*
с*
£
а
у
3
0Q

а

К
о
3
а
Действия
с модулями

+

Зн ак
ответа

+

Действия
с модулями

+
Знак
ответа

П ерем но­
ж и ть
П оделить

+

П оделить

П ерем но­
ж и ть

1

.

3
3ь>
<

fee

Действия
с модулями

1
Знак ответа

П оделить

В ы честь из
больш его
м одуля
м ен ьш и й

П ерем но­
ж и ть

Зам ен яем на слож ение: а - Ъ —а 4- (-Ь )

С лож ить

ф

С лож ить

S
2
X
л

Ч исла с разны ми знакам и

с
о
X
У
S

О трицательные
числа

s
2

П оложительные числа

Д ействия
СО

АЛГЕБРА 7—9

Формулы сокращенного умножения
Квадрат суммы

(в + ft)2 = а2 + 2аЪ + Ь2

Квадрат разности

(а - Ъ)2 — а2 - 2аЬ + Ь2

Куб суммы

(а + ft)3 = о3 + 3 а2Ь +
+ 3оЪг + Ь3

Куб разности

(а - ft)3 = о3 - 3a2ft +
+ 3aft2 - ft3

Разность квадратов

a 2 - ft2 = (a - ft)(a + ft)

Сумма кубов

a 3 + &3 = (a + b) x
x (a2 - ab + Ы2)

Разность кубов

a 3 - ft3 = (a - ft) x
x (a2 + aft + ft2)

Свойства степени

• =a m +

am an

n

am : an = am~n
(am)n

=a mn

( a b Y n = am bm

=1
fa
>\m=bm
\bJ
a0

1

° m

a*

=Ja n-

an
a"

-

=
=

S'
nJa
"Jo™

11

Пропорция

Пропорция 2 = £ равносильна следующим
о

а

равенствам:
а _ 6.
с
d*

d _ с щ b = d
Ь
а 9 а
с'

Основное свойство пропорции:
a d = be

Свойства квадратного
(арифметического) корня
J a - Jb = Jab
Ja _ la
Jb
Vb
( J i) m = JJ^

J ab = J\a\ ■ Vi*i
j i _ J\J\
w

M
= (-v/0)'"

Свойства корня л-й степени
nJa = nhJ a k
nJ a _ la
---nJT
•JB
w

(nJ a )m - "Jo*
”i f j i = mnJa

nJ~a • nJ b = nJ a~ b

12

Свойства числовых неравенств

а, Ь — любые числа
Если а > b и b > с, то а > с
(свойство транзитивности).
Если а > Ь , то a + c > b + c (с € R).
Если а > b и с — положительное число,
то ас > Ъс.
Если а > b и с — отрицательное число,
то ас < Ьс.
Если а > b и с > d, то а + с > b + d.
а, Ь — положительные числа

Если а --">