Петр Путенихин - Уравнения движения в расширяющейся Вселенной

большей наглядности проведем анализ формально с использованием аллегории железнодорожных путей со шпалами. Пусть расстояние между двумя объектами измеряется количеством шпал между ними. Примем, что исходное расстояние при t = 0 составляет одну шпалу r0 = 1.

Пусть удлинение, расширение пространства происходит монотонно таким образом, что его длина увеличивается за счет удвоения каждой шпалы в единицу времени. Здесь мы введем величину, которую назовём коэффициентом пространственного расширения (чтобы не путать его с масштабным фактором), равную в данном случае 2. Поэтому в следующий момент времени шпал будет уже две:

В следующий и дальнейшие моменты времени число шпал каждый раз удваивается:

И так далее. Здесь уже можно обнаружить некоторое сходство с законом Хаббла, но для зависимости не скорости от расстояния, а расстояния от времени, поскольку очень хорошо видна закономерность:

Однако мы использовали довольно радикальное значение параметра расширения пространства – удвоение.

Удвоение атомов пространства является, видимо, чрезмерно завышенной величиной. Поэтому выберем некоторую константу, значение которой пока не устанавливаем. Поскольку конечный результат, надо признаться, нам вообще-то известен, в качестве константы возьмем величину e^H, которую также назовём коэффициентом пространственного расширения. Пусть в начальный момент времени расстояние между двумя объектами (галактиками) равно r0. Согласно выбранной модели за каждую единицу времени количество атомов пространства будет возрастать в e^H раз. Поэтому в каждый следующий момент времени расстояние будет увеличиваться. Продолжив вниз левый столбец в следующей таблице, обнаруживаем закономерность (средний столбец), которую переписываем в короткое уравнение (справа):

И так далее. Закономерность очевидна:

Или кратко:

Уравнение описывает, как со временем увеличивается расстояние между двумя областями, находящимися в исходном состоянии на некотором расстоянии r0. Выше мы умышленно использовали константу в виде e^H, чтобы получить именно такую запись (8), причем величина H окажется в точности равной постоянной Хаббла.

Легко заметить сходство уравнения (8) с законом Хаббла, но для зависимости не скорости от расстояния, а расстояния от времени. Если продифференцировать его по времени, то мы сразу же и получаем развёрнутый закон Хаббла:

Замечаем, что последний сомножитель – это значение r, подставляем и получаем обычную запись закона Хаббла:

5. Интегральный закон Хаббла

Несложно показать, что при использовании изменяющегося во времени параметра e^H(t) мы получим интегральное уравнение движения а(t) или r(t).

Для этого все одинаковые интервалы времени записываем количественно, а не в порядковом виде. Каждое следующее --">