Игорь Николаевич Сергеев , Слав Николаевич Олеxник , Сергей Борисович Гашков - Примени математику

число-десятков. Заменим такие группы чисел их суммами, а затем среди новых слагаемых выделим аналогично группы чисел, дающие в сумме целое число сотен. Действуя таким образом, мы сильно упростим работу по сложению исходных чисел. Например, складывая числа 17, 96, 72, 29, 93, 32, 87, 68, 84, 37, 13, 92, 55, 61, 45, 34, 73, 29, 20, 64, получаем

(17 + 93) + (96 + 84) + (72 + 68) + (29 + 61) + (87 + 13) + (37 + 73) + (55 + 45) + 20 + (32 + 34 + 64) + (92 + 29) = 100 + 180 + 140 + 90 + 100 + 110 + 100 + 20 + 130 + 120 + 1 = (110 + 90) + (180 + 20) + (100 + 100) + (140 + 110 + 130 + 120) + 1 = 200 + 200 + 200 + 500 + 1 = 1101. Попробуйте подсчитать сумму исходных чисел в том порядке, в каком они были записаны вначале, и вы убедитесь, насколько это трудоемкое и нудное занятие.

1.3. Приведенная на рис. 1, а запись есть не что иное, как запись поразрядного сложения многозначных чисел, отличающаяся от обычной тем, что в ней не требуется запоминать никаких цифр при переносе из одного разряда в другой. Так, при сложении цифр единиц всех слагаемых получается 20, что и записано в первой строке под чертой. При сложении цифр десятков всех слагаемых получается 34, что и записано в следующей строке (разумеется, не прямо под предыдущим числом, а со сдвигом на один разряд влево), и т. д.

На рис. 1, б приведена запись умножения чисел 345 и 578, в которой действия произведены в необычном порядке. Сначала перемножены цифры единиц и в первой строке записан результат 40. Затем перемножены последовательно такие пары цифр, которые дают число десятков произведения,- это пары 4, 8 и 5, 7 - и записаны результаты 32 и 35. Далее перемножены пары цифр, дающие число сотен, произведения, и т. д.

Наиболее труден для расшифровки, видимо, рис. 1, в, который отличается от предыдущего только тем, что в нем сложены и записаны в соответствующих местах числа единиц, десятков, сотен и т. д., полученные при умножении чисел 345 и 578. В первой строке под чертой записаны справа налево двузначное число единиц 40, затем двузначное число сотен 24 + 28 + 25 = 77 (заметьте, что именно сотен, а не десятков - в противном случае произошло бы неизбежное "наложение" одних чисел на другие, что повлекло бы за собой дополнительные трудности) и, наконец, двузначное число десятков тысяч 15. В следующей строке записаны аналогично двузначное число десятков 32+35=67 и двузначное число тысяч 21 + 20 = 41.

1.4. Пусть на левой руке загнуто a пальцев, а на правой - b пальцев. Тогда сами сомножители равны 5+a и 5+b соответственно, а их произведение равно

(5+a) (5+b) = 25+5а+5b+ab = 10а+10b+(25-5а-5b+ab) = 10 (а+b) + (5-а) (5-b), где 5-а и 5-b - как раз количества незагнутых пальцев на левой и правой руке соответственно. Таким образом, предложенный способ умножения на пальцах дает верный результат.

1.5. При умножении однозначного числа а на 9 предложенным способом мы получаем, что слева от а-го (поднятого) пальца находится а - 1 пальцев, а справа 10 - а пальцев, т. е. искомое произведение равно

10 (а - 1) + (10 - а) = 10а - 10 + 10 - а = 9а, что и требовалось объяснить.

1.6. Так как 9а = 10а-а, то для умножения числа а на 9 достаточно от увеличенного в 10 раз числа а отнять само число а. Например, при а = 437 имеем

437*9 = 4370-437 = 3933. Аналогично вместо умножения числа а на 99 или на 999 можно умножить его на 100 или на 1000 соответственно, а потом отнять само число а, например,

437*99 = 43 700 - 437 = 43 363, 437*999 = 437 000 - 437 = 436 563. В общем случае умножения на числа, близкие к степени десятки, поступаем аналогично, например,

437*997 = 437(1000-3) = 437 000 - 1311 = 435 689. 1.7. Так как

63 475 = 634*100 + 75 = 634*99 + 634 + 75 = 634*99 + 6*100 + 34 + 75 = 634*99 + 6*99 + 6 + 34 + 75 = 640*99 + 115 = 641*99 + 16, то частное от деления данного числа на 99 равно 641, а остаток 16. Так как

63 475 = 634*98 + 634*2 + 75 = 634*98 + 6*98*2 + 6*2*2 + 34*2 + 75 = 646*98 + 24 + 68 + 75 = 647*98 + 69, то частное от деления на 98 равно 647, а остаток 69. Так как

63 475 = 634*102 - 634*2 + 75 = 634*102 - 6*102*2 + 6*2*2 - 34*2 + 75 = 622*102 + 24 - 68 + 75 = 622*102 + 31, то частное от деления на 102 равно 622, а остаток 31.

1.8. Вместо умножения числа а на 5 можно, и это действительно проще, разделить его на 2 и умножить на 10, поскольку Аналогично вместо деления числа а на 5 можно, наоборот, умножить его на 2 и разделить на 10, поскольку Например, имеем

1275*5 = 637,5*10 = 6375, 1275:5 = 2550:10 = 255. 1.9. Так как 25 = ¹⁰⁰/4, то справедливы формулы 25а = ^а/4 *100 и ^а/25 = ^4а/100 пользуясь которыми, например, получаем

786*25 = --">