Игорь Николаевич Сергеев , Слав Николаевич Олеxник , Сергей Борисович Гашков - Примени математику

достаточно вычесть из одного числа дополнение второго до 100 и, увеличив разность в 100 раз, прибавить к ней произведение дополнений исходных чисел до 100. Например, верны выкладки

93*98 = (93-2)100 + 2*7 = 9114. Дайте обоснование предложенному способу.

1.15. Умножение чисел, близких к 1000 При перемножении чисел 987 и 996 были проделаны вычисления:

987*996 = (987-4)1000 + 4*13 = 983 052. Убедитесь, что в результате найден верный ответ, и объясните способ его получения (сравните с задачей 1.14).

1.16. Устное умножение Докажите, что для перемножения двух чисел, у которых цифры единиц в сумме дают 10, а цифры других разрядов совпадают, достаточно число, получающееся в результате отбрасывания цифры единиц, умножить на следующее за ним натуральное число и, увеличив произведение в 100 раз, прибавить к нему произведение цифр единиц исходных чисел. Например, верны выкладки

62*68 = 6*7*100 + 2*8 = 4216. 1.17. Квадрат числа, оканчивающегося на 5 Сформулируйте общее правило, с помощью которого возведены в квадрат следующие числа:

85² = 8*9*100 + 25 = 7225, 115²= 11*12*100 + 25= 13225. Откуда вытекает справедливость этого правила?

1.18. Если числа оканчиваются на 5 Докажите, что для перемножения двух чисел, оканчивающихся на 5, достаточно отбросить у каждого числа последнюю цифру, а затем, увеличив большее из полученных чисел на 1, умножить его на меньшее из них и прибавить к результату полуразность тех же чисел, наконец, увеличить ответ в 100 раз и прибавить 25. Например, пользуясь указанным способом, находим произведения

1.19. С помощью квадратов Если вы хорошо помните или умеете быстро восстанавливать в памяти квадраты натуральных чисел, то вы сможете и быстро перемножить, скажем, числа 32 и 36 следующим способом:

32*36 = 34² - 2² = 1156 - 4 = 1152. Обоснуйте верность приведенных выкладок и подумайте, к каким парам чисел удобнее применять указанный способ перемножения

чисел.

1.20. Квадраты близких чисел Пусть вы помните квадрат какого-то числа и хотите по нему быстро восстановить квадрат числа, отличающегося от исходного на 1 или 2. Как это можно сделать, не производя операции возведения в квадрат?

Если вы помните только квадраты чисел, кратных 5, то без особого напряжения сможете восстанавливать квадраты остальных целых чисел. Как именно?

1.21. Следующий куб Пусть вам известен куб некоторого числа. Как с его помощью проще найти куб следующего числа?

1.22. Квадрат числа, близкого к "круглому" Быстрому возведению в квадрат может способствовать умение перемножать в уме любые числа с некоторыми числами специального вида, например

192² = 200*184 + 8² = 36 864, 412² = 400*424 + 12² = 169 744. На каком приеме основаны вычисления квадратов в данных примерах?

1.23. Следующие 25 квадратов Если вы знаете квадраты всех чисел от 1 до 25, то вам нет никакой необходимости заучивать квадраты следующих 25 чисел. Для возведения в квадрат любого числа, заключенного между 25 и 50, достаточно отнять от него 25 и, увеличив результат в 100 раз, прибавить к нему квадрат дополнения этого числа до 50. Например, справедливы равенства

37² = (37-25)100 + (50-37)² = 1200 + 169 = 1369. Дайте обоснование предложенному способу.

1.24. Квадраты чисел, больших 50 Как изменить описанную в задаче 1.23 процедуру возведения в квадрат, чтобы она годилась и для двузначных чисел, больших 50?

1.25. Квадраты чисел, близких к 500 При возведении в квадрат числа 492 были проделаны вычисления

492² = (492-250)1000 + (500-492)² = 242 064. Убедитесь, что в результате найден верный ответ, и сформулируйте общее правило возведения в квадрат чисел, близких к 500 (сравните с задачами 1.23 и 1.24).

Решения

1.1. Имеет смысл сосчитать, сколько раз среди слагаемых встречаются в отдельной части числа 1, 2, 3, ..., 9. Если количества этих чисел скажутся соответственно равными n1, n2, n3, ..., n9, то искомая сумма будет равна 1*n1 + 2*n2 + 3*n3 + ... + 9*n9 и подсчет этой суммы можно будет произвести более экономно, а значит, с меньшей вероятностью ошибки.

1.2. Если чисел достаточно много, то среди них с большой вероятностью найдутся пары или тройки чисел, дающие в сумме целое --">