Лев Давидович Ландау , Евгений Михайлович Лифшиц - Теоретическая физика в 10т. Т.5. Статистическая физика. Ч.1

л я я в (1) и у ч и т ы в а я , ч т о cos2 qx = 1 /2 , cos4 qx = 3 /8 , н аходи м д л я
терм од и н ам и ческ ого п о тен ц и ал а, отнесенного к еди н иц е объем а:

1

Т/ ч

2

. 3

4

151

ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД В ДВУМ ЕРНОЙ РЕШ ЕТ К Е

567

где A(q) = А + gq 2 + ( f /2)q4. Е сли g < 0, ф у н к ц и я A(q) и м еет м и н и м у м п р и
q = qo = (—g / / ) 1^2. В ел и ч и н а qo и есть волновой в е к т о р «м одуляц ии ». Ее
д л и н а волн ы 2ir/qo обр ащ ается в бескон ечн ость
обратн о п р оп орц и он ал ьн о к в а д р а т н о м у корню из
р ассто я н и я до т о ч к и Л и ф ш и ц а . М и н им альн ое
зн ачен и е A(qo) = А —g2/ 2 f . У р авн ен и е

A(q0) = А -

О

2/

II

III

оп р ед ел я ет лин и ю п ерех о да вто р о го р о д а и з си м ­
м етр и ч н о й ф а зы I в н есоизм ерим ую III. М ини­
м и зи р у я (2) по т/о, н аходи м а м п л и т у д у м о д у л я ­
ции tjq = (2 /3 ) (—А / В ) и зн ачен и е п о т ен ц и ал а
Р и с. 70
Ф ш
=
Ф о — (1 /3 )(А2/В). П р и р а в н и в а я Ф ш п о тен ц и ал у сои зм ери м ой ф а ­
зы Фц = Ф0 — ( 1 /4 )(А2/В), н аходи м у р ав н ен и е л и н и и п ер ех о да первого р о д а
м еж д у ф а за м и II и III:

Л-

1 g2
V 6 -2 / '

П о л у ч ен н ая ф а зо в а я д и а г р а м м а схем ати ческ и п о к а за н а н а рис. 70.

§ 151. Ф азовый п ер еход второго рода
в дв ум ер н ой реш етке
Невозможность теоретического определения критических
индексов в общем виде придает особый интерес рассмотрению
простой модели, допускающей точное аналитическое решение
задачи о фазовом переходе второго рода. Это — определенная
модель двумерной решетки, для которой задача о фазовом пе­
реходе была впервые решена Онсагером (L. Onsager} 1944)1) .
Рассматриваемая модель представляет собой плоскую ква­
дратную решетку, состоящую из N узлов, в каждом из кото­
рых находится «диполь» с осью, перпендикулярной к плоскости
решетки. Диполь может иметь две противоположные ориента­
ции, так что общее число возможных конфигураций диполей
в решетке равно 2N 2) . Д ля описания различных конфигура­
ций поступим следующим образом. С каждым узлом решетки
(с целочисленными координатами к, I) свяжем переменную сг^,
х) П ер в о н ач ал ьн ы й м етод, п р и м ен ен н ы й О нсагером , бы л ч р е зв ы ч ай н о сло­
ж ен. В д ал ьн ей ш ем р я д о м ав то ро в реш ение за д а ч и бы ло уп рощ ено. И зл а га ­
ем ы й н и ж е м етод (ч асти ч н о и сп о л ьзу ю щ и й н еко то р ы е и деи м ето д а К а ц а и
У орда ( М.Кас, J. С. Ward , 1952)) п р и н а д л е ж и т Н. В. В до ви ч ен ко (1964).
2) Э та м одель и зв ес т н а в л и т е р а т у р е к ак м одель И зин га; ф а к т и ч е с к и она
б ы л а вп ервы е введ ен а Л ен ц ем (W. Lenz, 1920), а д л я одном ерного с л у ч а я
(в котором ф азо в ы й переход о тсу тству ет) и ссл ед о ван а И зи н го м (Е. Ising,
1925).

568

ФАЗОВЫ Е П РЕРЕХО ДЫ ВТОРОГО РОДА

ГЛ. XIV

принимающую два значения ±1, соответствующие двум возмож­
ным ориентациям диполя. Если ограничиться только учетом
взаимодействия между соседними диполями, то энергия конфи­
гурации может быть записана в виде
ь
Е(а) = - J ^ 2 { --">