Гарольд Джеффрис , Берта Свирлз - Методы математической физики

сомнож итель, равный нулю, так
к а к разделенны е разности не определены д л я со в п ад аю щ и х
точек.
П редп ол о ж и м теперь, что на и нтервале (а, Ь) функция f { x )
имеет производны е вплоть до п о ряд ка п. Тогда и R { x ) имеет
производные до п ор яд ка п, поскольку gf (х) — многочлен. Пусть
Хи Х 2,
Хп располож ены в порядке возрастани я. И х п оря­
д ок не влияет на R{x) , так ка к g (л:) — симметрична. Тогда
в силу того, что R { x ) = 0 при л: = л:| и х = х2, по теореме Р о л л я
/?'(л:) = 0 при некотором п ромеж уточном значении х. А н ал о­
гично R ' { x) = 0 при некоторых х в ка ж д о м из интервалов о т
Х2 до лгз, . . . от
ДО Хп. И спользуя теорему Р о л л я еще раз,
видим, что /?"{х) = 0 при п — 2 значениях х, л е ж а щ и х м е ж д у
Х\ и Хп. П р о д о л ж а я рассу ж д ен и я, получим, что
= О
при одном промеж уточном значении, ск аж е м , при х = 1. Но.
дифференцирование формулы (8) д ает

(х) = (и - 1)! [л;.Х2. . . Хп] +

W.

(15>

П оэтому
Ш = ( п - 1)1 [Х,Х2...Х „ ].

(16>

С ледовательно, м е ж д у Xi и х„ л еж и т по крайней мере однозначение х, д л я которого ( п — 1)-я р азд ел е н н ая разность р а в н а
( « — 1)-й производной f ( x) , умноженной на 1/(и — 1)!. П ол уч ен ­
ный р езультат верен д ля к а ж д о г о п. С ледовательно, м о ж н »
заменить п — I н а г а и получить
[ х ж ,.. .л:„]

(17>

где т) л еж и т на интервале, концы которого п р ед став л яю т со­
бой наименьшее и наибольш ее значения из х, т. е. Xi и ХпВ о зв р а щ ая сь теперь к (9), имеем
R

M

- i i

/ '" Ч л ) { X -

X , ) ( Х - Х 2) . . . ( Х - Х п ).

( 1 8 ).

Если можно установить пределы д ля «-Й производной во всех
п р о м еж у тках м е ж д у п значениями аргументов, то тогда 1*1ожнрполучить оценку ошибки, получаю щ ейся при зам ене f (x) на
Р{х) . О тб расы ван и е J?(x) в (10) приводит к интерполяционной
ф ор му ле Ньютона.
П оследовательное применение (12) показы вает, что га-я р а з ­
д ел ен н ая разность х" р ав н а 1. Это следует т а к ж е и из (17).
Д ействительно, если /( x ) = .v", то п р а в а я часть (17) р ав н а 1
д л я всех X и, следовательно, числители всех высших разн о ­

стей равны 0. Это свойство удобно использовать при аппрок­
си м аци и за д а н н ы х значений функции степенным рядом . Д ей ­
ствительно, если все л-е разд ел енн ы е разности равны
то
— коэффициент при л:”. Вычтем
из всех табли чн ы х зн а ­
чений и снова составим разделенны е разности. Если все ариф­
метические действия были произведены правильно, то разн о ­
сти п ор яд ка п — I будут постоянными и их значение будет
коэффициентом при x"~^ и т. д. Процесс получения коэффи­
циентов автоматически контролируется: л ю б а я арифметическая
о ш и б к а о б н а р уж и ва ется на следую щей стадии вычислений.
И з формулы (18) видно, что если
(х) не слишком сильно
меняется, то R { x ) будет наименьшим при использовании т а б л и ч ­
ных значений Xi, . . . л;„, наиболее близких к симметричному
расположению относительно х. Ф о рм ул а пригодна при любом
выборе табличных значений, но ош ибка, которая н еизбеж на
при неравной нулю
(х), значительно меньше при интерполя­
ции, чем при экстраполяции. Подобным образом обычно боль­
ш а я точность получается при интерполяции в середине таблицы ,
чем у ее краев. Т аб л и ца разностей составляется следую щ им
о б р азо м ;
/3
h
h
X,

i(x,)

Хг

Цхг)

[XiXtl
[XiXiXi]
[X2X3]
Хъ

[XtXiXiXt]
[XiXjXi]

fix,)

[XiXiXiX^]

IXiXi]
[x.xtx^]

Kt
IXiXsl
Ч

f M

[x.iXtXsXs]
IXiX^Xe]

П р и интерполяции м еж д у х^ и лг4 в к л а д
наименьший при
использовании разностей [х^х^], [х2хзх^] и [х^х^х^х^] или любой
д р у г о й последовательности, которая зак ан чи в ается на этой ж е
третьей разности. И з вторых разностей об язательн о нужно
в з я т ь одну из тех двух, которые были использованы д л я о б р а ­
з о в а н и я этой третьей разности. И з первых разностей о б я за ­
тел ь н о нужно вы брать одну из тех, по которым бы ла получена
и сп о л ьзо в ан н ая втор ая разность. В остальном выбор пути без­
различен — нужно только прийти к той ж е самой третьей р а з ­
ности. В результате всегда получится многочлен третьей стелвни, значения которого сов п ад аю т с f { x ) при х = хг, х^, х^, х^.
Впрочем, арифметические вы кладки будут проще, если при­
д е р ж и в а т ь с я насколько возможно б л и ж е к горизонтали таблицы.
П редставлени е (10) обычно менее удобно, чем (8); разделенд ы е разности высших порядков обычно м алы и при умножении

12

Глава 9

на д в а или более сом нож ителя --">