Гарольд Джеффрис , Берта Свирлз - Методы математической физики

образом, у нас есть п уравнений, в ы р а ж аю щ и х
тот факт, что dS/dq^o, явл яю щ иеся функциями q^, Qso и, может
быть, t, постоянны во время всего движ ения и равны — р^о.
Отсю да если мы зад ал и сь S, то у нас есть п уравнений
д л я определения q, через t и начальны е условия; п о это м у ,ес л и
можно определить S, то полное решение задачи сводится
к решению этих уравнений. Этот результат п р ин ад л еж и т Г а­
мильтону. Сложность его применения в только что сформули­
рованном виде зак л ю ч ается в том, что, хотя бывает довольно
легко получить полный интеграл у равнения (8), включающий
п + 1 постоянных, эти постоянные обычно зав и ся т и от q^o и

от psd и вы разить нх только через
часто нелегко. Эта тео­
рем а была дополнена Якоби, который о б н а ру ж и л, что л ю бой
полный интеграл уравнения (8) можно использовать точно
таким ж е образом , ка к и полный интеграл, зави сящ ий только
от
О д н ако д ля д о к аза т ел ь ств а этого полож ения мы ну­
ж д а е м с я в гамильтоновой форме уравнений движ ения.
10.09.
У равнения Г ам и л ьто на. Функция Л а г р а н ж а L з а в и ­
сит от qs, qs и, возможно, от t; функция Гамильтона Я зависит
от qs, Ps и, возможно, от t. Д л я произвольных вариаций
и qs при неизменном t имеем
бЯ = 6 {(/sps - L ) = c/s6ps + Ps^qs

( I I)

Ho no определению p^ = OLIdq, и, следовательно,
(>H = c / 6 p s - - ^ 6 q s ,
.

dPs '

dqs ~

dL
dqs

( 12)

Д ал ее, из уравнений Л а г р а н ж а

И

d

dL

dL

dt

d qs

dqs

дН
dq s '

поэтому
dH

.

dH

,,

Это у р а внен ия Гамильтона. И х надо р ассм атр и в ать ка к си­
стему 2п дифференциальных уравнений первого по ряд ка, в то
время как п уравнений Л а г р а н ж а являю тся уравн ен иям и в то­
рого порядка.
У равнения Гамильтона могут быть прямо связан ы с в а р и а ­
ционным принципом следующим образом . П ол ож и м (см. [2])
t,

В = j { p s q s - H i q s , Ps)}dt.
^0

Тогда

(15)

tx

ЬВ =
=

J

( р , б --">