Автор Неизвестен - Булевы алгебры (продолжение)

u
наследуется из R.
Коммутативность булева кольца, обеспечивает
коммутативность t и u.
Далее в выкладках без пояснений используются свойства
булева кольца.

16 / 67

Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение)
Булевы кольца и структуры

От булева кольца к булевой алгебре...
Доказательство (продолжение)
Установим справедливость законов поглощения:
(x t y) u x = (x + y + xy)x = x + xy + xy = x .
x t (x u y) = x t (xy) = x + xy + xy = x .
Таким образом, B∗ — решётка.
Непосредственно проверяется выполнение пар законов t o, u ι
и t ι, u o.
В силу этого 0 и 1 суть универсальные грани решётки B∗ .

17 / 67

Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение)
Булевы кольца и структуры

От булева кольца к булевой алгебре... Стоуновская
двойственность
Доказательство (продолжение)
Из равенств
x u x 0 = x(1 + x) = x + x = 0 и
x t x 0 = x t (1 + x) = x + 1 + x + x(1 + x) = 1 + x + x = 1
вытекает, что B∗ — решётка с дополнениями.
Равенства
(x t y) u z = (x + y + xy)z = xz + yz + xyz = (x u z) t (x u z)
доказывают справедливость в B∗ первого дистрибутивного
закона, а второй доказывается двойственно.
Таким образом, любое булево кольцо с единицей может быть
задано с помощью булевой алгебры и наоборот.
Следствие: B∗∗ = B и R∗∗ = R.
Тем самым устанавливается т.н. стоуновская двойственность
между булевыми алгебрами и булевыми кольцами.

18 / 67

Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение)
Булевы кольца и структуры

19 / 67

Булева структура
Определение
АС h B, t, u, 0 , v, o, ι i такая, что h B, t, u, 0 , o, ι i — булева
алгебра, а отношение v задаются по правилу
def

def

x v y = x u y = x (или x v y = x t y = y)
называется булевой структурой.
Утверждение
Элемент a булевой алгебры B является атомом, iff o l a.
Доказательство
Пусть a и b — элементы булевой алгебры B. Тогда
o l a ⇒ (a v b) ∨ (a 6∼ b) ⇒ (a u b = a) ∨ (a u b = o),
т.е. a ∈ At(B);
если a ∈ At(B) и a v b, то a u b = a 6= b и b 6∈ At(B).

Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение)
Идеалы, фильтры и конгруэнции в булевой алгебре

Разделы

1

Булевы алгебры как решётки. Булевы гомоморфизмы
и подалгебры

2

Булевы кольца и структуры

3

Идеалы, фильтры и конгруэнции в булевой алгебре

4

Булевы многочлены

5

Булевы уравнения

6

Что надо знать

20 / 67

Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение)
Идеалы, фильтры и конгруэнции в булевой алгебре

Булевы идеалы и фильтры: определение
Определение
Идеалом [фильтром] булевой алгебры называют её решёточные
идеалы [ фильтры ].
Если I — идеал булевой алгебры B, то пишут I P B.
Каждый булев идеал I и фильтр F булевой алгебры B
обладает всеми свойствами решёточных, и, кроме этих, ещё и
(x ∈ I) N (x 0 ∈ I) ⇒ I = B и (x ∈ F ) N (x 0 ∈ F ) ⇒ F = B.

Действительно, по определению идеала ι = x t x 0 ∈ I, откуда
I = B и аналогично для фильтров.
На идеалы и фильтры булевой алгебры переносятся понятия,
собственных, несобственных и главных идеалов и фильтров.
Поскольку булева алгебра есть решётка, то в конечной булевой
алгебре все идеалы и фильтры — главные.

21 / 67

Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение)
Идеалы, фильтры и конгруэнции в булевой алгебре

Булевы идеалы и фильтры: примеры
1

Пусть B ⊆ A. Тогда совокупность всех подмножеств
множества A, содержащихся в B есть идеал булевой
алгебры P(A), а содержащих B — фильтр P(A).
Это — главные идеалы и фильтры в бесконечной булевой
алгебре.

2

Приведём пример неглавных идеалов и фильтров.
Пусть A — бесконечное множество. Совокупность P0 (A)
всех конечных подмножеств A есть неглавный идеал, а
совокупность подмножеств, имеющих конечное дополнение
до A — неглавный фильтр булевой алгебры P(A).
Фильтр указанного вида называют фильтром Фреше.

То, что I — собственный идеал булевой алгебры B будем
записывать I / B.

22 / 67

Прикладная алгебра. Тема V: Булевы алгебры (продолжение)
Идеалы, фильтры и конгруэнции в булевой алгебре

Максимальные идеалы и фильтры. Ультрафильтр
Определение
Идеал [ фильтр ] булевой алгебры называется максимальным,
если он не содержится ни в каком другом собственном идеале
[ фильтре ].
Фильтр булевой алгебры B называется ультрафильтром если
для любого b ∈ B ему принадлежит в точности один из
элементов b и b 0 .
Понятно, что если x — атом [ коатом ] конечной булевой
алгебры, то xM [ xO ] — её максимальный фильтр [ идеал ].
В конечных булевых алгебрах ультрафильтры --">