Сато Минору - Занимательная математика. Дифференциальные уравнения. Манга

мире математики. Я буду счастлив, если эта книга станет для вас толчком для взлета в мир дифференциальных уравнений.
В завершение я хочу от всего сердца поблагодарить сотрудников издательства Ohmsha, благодаря которым эта книга смогла появиться на свет; SWP, благодаря которому в сценарии появилась богиня цифр, что сделало книгу более
увлекательной; художницу Адзума Секо, которая проделала большую работу и
создала детальные иллюстрации к абстрактному миру математики. Эта книга –
результат командной работы.
Ноябрь 2009 года
Сато Минору


V

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................................ V
Пролог
БОГИНЯ ЦИФР ИЗ ХРАМА ЧИСЕЛ......................................................... 1
Глава 1
ЧТО ТАКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.................9
Глава 2
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АНАЛИЗА........................................................ 25
1. Функции, переменные и графики.......................................................................... 29
Экспоненциальные функции............................................................................. 38
Логарифмические функции............................................................................... 39
Тригонометрические функции.......................................................................... 40
Гиперболические функции.................................................................................. 41
2. Дифференциалы........................................................................................................ 42
3. Интегрирование........................................................................................................... 54

Глава 3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ........................................... 69
1. Явление........................................................................................................................... 72
2. Модель.............................................................................................................................74
3. Решение.......................................................................................................................... 78
4. Интерпретация............................................................................................................. 82
5. Закон Мальтуса.............................................................................................................91
Явление...................................................................................................................... 96
6. Радиоактивный распад............................................................................................. 96
VI

Модель....................................................................................................................... 99
Решение.................................................................................................................... 100
Интерпретация........................................................................................................ 101
7. Разные явления, одна модель............................................................................... 104
8. Логистическая модель............................................................................................ 105

Глава 4
НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА.
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ПОСТОЯННЫХ......................................................................................................111
1. Явление.......................................................................................................................... 116
2. Модель...........................................................................................................................123
3. Решение......................................................................................................................... 131
Итоговые вычисления........................................................................................ 134
4. Интерпретация........................................................................................................... 136
5. Метод вариации произвольных постоянных..................................................145

Глава 5
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА........................................................................................ 151
1. Явления колебаний.................................................................................................. 152
2. Колебания. Модель 1............................................................................................... 157
3. Колебания. Модель 2. Простые колебания..................................................... 164
Решение задачи с учетом силы сопротивления.........................................172
4. Колебания. Модель 3. Когда есть сопротивление.........................................172
Решение с учетом воздействия силы сопротивления. Случай 1
(затухающие колебания).................................................................................... 180
Решение с учетом воздействия силы сопротивления. Случай 2
(сильное затухание)............................................................................................. 185
Решение с учетом воздействия силы сопротивления. Случай 3
(критическое затухание).................................................................................... 190
5. Итоги. Характеристические уравнения............................................................. 195
Решение с учетом воздействия внешней силы...........................................197
6. Возвращение к модели колебаний 1 с учетом внешних сил......................197
Интерпретация решения с учетом внешней силы.................................... 201
VII

ПРИЛОЖЕНИЕ....................................................................................................... 211
1. Охлаждение --">