Тони Крилли - Математика. 50 идей, о которых нужно знать

Тони Крилли

МАТЕМАТИКА

50 ИДЕЙ,

о которых нужно знать

2

Оглавление
Введение 3

27 Аксиома параллельности 108
28 Дискретная геометрия 112

01 Нуль 4

29 Графы 116

02 Системы чисел 8

30 Задача четырех красок 120

03 Дроби 12

31 Вероятность 124

04 Квадраты и квадратные корни 16

32 Теория Байеса 128

05  20

33 Парадокс дней рождения 132

06 e 24

34 Распределения 136

07 Бесконечность 28

35 Кривая нормального

08 Мнимые числа 32

распределения 140

09 Простые числа 36

36 Связанные данные 144

10 Совершенные числа 40

37 Генетика 148

11 Числа Фибоначчи 44

38 Группы 152

12 Золотые пропорции 48

39 Матрицы 156

13 Треугольник Паскаля 52

40 Шифры 160

14 Алгебра 56

41 Высшее вычисление 164

15 Алгоритм Евклида 60

42 Волшебные квадраты 168

16 Логика 64

43 Латинские квадраты 172

17 Доказательство 68

44 Математика денег 176

18 Множества 72

45 Задача о диете 180

19 Исчисление 76

46 Задача коммивояжера 184

20 Построения 80

47 Теория игр 188

21 Треугольники 84

48 Относительность 192

22 Кривые 88

49 Великая теорема Ферма 196

23 Топология 92

50 Гипотеза Римана 200

24 Измерение 96
25 Фракталы 100

Словарь 204

26 Хаос 104

Предметный указатель 206

3

Введение
Математика — предмет обширный, и никому не под силу знать ее всю. Но ее можно изучать,
искать в ней собственный путь, и нам откроются вопросы, не первое столетие волнующие
математиков разных культур и времен.
И на древнюю, и на современную математику влияли и массовая культура, и политика.
Современная система чисел, обросшая ракушками древности, происходит из Индии и Аравии.
Шестидесятеричная система счисления Древнего Вавилона II–III тысячелетий до нашей эры
по-прежнему жива: в минуте у нас 60 секунд, а в часе 60 минут; прямой угол по-прежнему равен
90°, а не ста, как в свое время решила для себя Франция, после Революции устремившись к десятичной системе во всем.
Победы техники наших дней зиждутся на математике; никакой доблести в плохой успеваемости
по этому предмету не осталось вовсе — прошли те времена. Школьная математика — отдельное
занятие, нацеленное, в основном, на сдачу экзаменов. Плотное расписание тоже не способствует погружению в предмет, а математика не терпит поспешности. Для впитывания математических идей требуется время. Некоторые величайшие математики бывали до крайности непроворны в своих попытках постичь глубинные принципы этой дисциплины.
Вы тоже не спешите поскорее прочесть эту книгу. Неторопливо изучите предложенные в тексте идеи — вам, вероятно, они уже знакомы, но теперь, быть может, вы поймете их подлинный
смысл. Начните с «Нуля» — или с любой другой главы и странствуйте меж островов математического знания. Например, вы узнаете много нового о теории игр или о волшебных квадратах. А можете двинуться от золотого сечения к знаменитой последней теореме Ферма — или
любым иным путем.
В математике сейчас наступило интереснейшее время. Кое-какие ключевые задачи этого
предмета были решены буквально недавно. Современные компьютерные технологии помогли
с некоторыми загадками, а в отношении других они по-прежнему бессильны: проблему четырех красок решили компьютеры, а гипотеза Римана, о которой мы говорим в последней главе,
ни нам, ни нашим компьютерам так и не поддалась.
В математике, как и в искусстве или музыке, были и есть свои гении, однако они — еще не вся
история предмета. Подлинный прогресс этой науки — накопленная за века работа многих.
Выбор 50 тем для разговора — вполне субъективный, но я постарался соблюсти равновесие. В книгу включены как повседневные, так и более сложные представления, теоретическая и прикладная математика, абстрактная и предельно конкретная, древняя и новая.
Математика — единый предмет, и главная трудность при составлении этой книги заключалась
даже не в том, что именно в нее включить, а что оставить за скобками. Можно было бы запросто собрать и 500 идей, но и 50 — вполне славное начало вашей математической карьеры.

4



01 Нуль
Еще детьми мы делаем первые неуклюжие шаги в стране
чисел. Мы узнаем, что 1 — начало «численного алфавита», что
с единицы начинается последовательность натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ... Натуральные числа возникают при счете чего
угодно — яблок, апельсинов, бананов, груш. И лишь позднее --">