Аркадий Григорьевич Мерзляк , Виталий Борисович Полонский , Михаил Семёнович Якир - Геометрия 8 класс Учебник

Свойства параллелограмма
В

„

С

i— /
/77
в

ABCD
А В = CD

Е сли
то

— п арал л ел ограм м ,
и

ВС = AD

с

в

A B C D — парал л ел ограм м ,
АС и ZB = ZD

Е сли

т о /.А =

с

Е сли
то

АО

ABCD
= ОС

п арал л ел ограм м ,

—

и

В О = OD

Признаки подобия треугольников

П ервы й п р изн а к подобия
(п о д в у м у гл а м )
Е сли

в,

ZA

т о ДA B C

л А

-

ZAtи

=
w

ZB

Z B V

=

Д Л ^С ,

^ с ,
В то рой п р и з н а к по до бия
(п о д в у м с т о р о н а м
и у гл у м е ж д у н и м и )

Е слил д
т о ДА В С

hZA

"

= z^ ’

Д А ,^ ,^

Т ретий п р и з н а к по до бия
(п о т р ё м с т о р о н а м )
F

л ,/

к

.

АВ

ВС

СА

А 1В 1

В,С,

С , Л,

т о А А В С °° А А 1В 1С 1

’

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Ф о р м ул а площ ади

а

прям оугольника:

S = ab

ь

Ф о р м ул а площ ади

Zi

параллел ограм м а:

__________/

S = ah

а

Ф о р м ул а площ ади
тр еугольн и ка:
п

\

S = \ aha

/4,5,. Отложим на стороне ВА отрезок S/1,,
равный стороне 5,/4,. Через точку Л , проведём прямую А,С,,, параллель­
ную стороне АС (рис. 140).
Углы А и B A r,Ci — соответственные при параллельных прямых /1,,С,
и АС и секущей А4,. Отсюда АА = АВА,,С,,. Но Z A = Z A V Получаем, что
= ZBA,,CT Следовательно, треугольники Л.2ВС2 и ^4 ,5,0, равны по вто­
рому признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольни­
ках ДА 2ВС2 « ДАВС. Следовательно, Л/1,6 ,0 , ™ААВС. ■*
Задача 1. Средняя линия трапеции A B C D (ВС II A D ) равна 24 см, а
её диагонали пересекаются в точке О, /40 : 0 0 = 5 : 3 . Найдите основания
трапеции.
Решение. Рассмотрим треугольники AO D и СОВ (рис. 141). Углы
AOD и В О С равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест
лежащие при параллельных прямых В С и A D и секущей АС. Следователь­
но, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.

Тогда АР _ АО

5
3'
Пусть В С = Зх см, тогда A D = 5х см.
Так как средняя линия трапеции равна 24 см, то В С + A D = 48 см.
Имеем: З х + 5 х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, В С = 18 см, A D = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см. ■*
ВС

СО

Задача 2 (свойство пересекающихся хорд). Докажите, что если хор­
ды А В и CD окружности пересекаются в точке М , то A M ■M B = D M • МС.
Решение. Рассмотрим треугольники A C M и D B M (рис. 142). Углы 3
и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опи90

рающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники A C M
и D B M подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда
Ж =
Отсюда A M - M B = D M - МС. ■*
DM
МВ
Задача 3 (свойство кэсатвльной и секущей!. Докажите, что если че­
рез точку А к окружности проведены касательная A M (М - точка касания)
и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С, то АМ г =
= АС ■АВ.
Решение. Рассмотрим треугольники А М В и ACM (рис. 143). У них
угол А — общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключе­

вую задачу § 9) ZAM B = ~ иМ В . Угол М СВ — вписанный угол и опирается на дугу М В, поэтому ZM CB = ~иМ В . Отсюда Z A M B = ZMCB. Следо­
вательно, треугольники А М В и A C M подобны по первому признаку подо­
бия треугольников. Тогда
1. Сформулируйте
2. Сформулируйте
3. Сформулируйте
ружности через

• Отсюда A M I2 = АС ■АВ. ◄

первый признак подобия треугольников.
свойство пересекающихся хорд.
свойство касательной и секущей, проведённых к ок­
одну точку.

I Упражнения
449. На рисунке 144 / Я АС = ZBED. Подобны ли треугольники А В С

и ED B? В случае утвердительного ответа укажите пары соответствен­
ных сторон.

91

.

На рисунке 145 D E 1 А В , В С 1 AD . Укажите на этом рисунке все па­
ры подобных треугольников.
451. На рисунке 146 /Л В С = ZBD C. Какие треугольники на этом рисун­
ке подобны? Запишите равенство отношений их соответственных
сторон.

450

Рис. 146

Рис. 145

В

D

А

isX

л\

F
\

И

В
452

.

А

Ь

A D

С

Укажите пары подобных треугольников, изображённых на рисун­
ке 147, найдите длину отрезках (размеры даны в сантиметрах).
Рис. 147

D
£)

в
5

х

ч

/£
X/

ЧУс/

1

18

А

/с

У

15 \

/

в

а

.

В треугольниках А В С и А^В^Су извест­
но, что / А = Z A V / В = / В г А В = 6 см,
ВС = 8 см, Л,В, = 9 см, Л,С, = 18 см.
Найдите неизвестные стороны данных
треугольников.
454 . На стороне CD параллелограмма ABCD
(рис. 148) отмечена --">