О Оре - Приглашение в теорию чисел
Название: | Приглашение в теорию чисел | |
Автор: | О Оре | |
Жанр: | Математика, Научная литература | |
Изадано в серии: | Библиотечка Квант #3 | |
Издательство: | Наука, Главная редакция физико-математической литературы | |
Год издания: | 1980 | |
ISBN: | неизвестно | |
Отзывы: | Комментировать | |
Рейтинг: | ||
Поделись книгой с друзьями! Помощь сайту: донат на оплату сервера |
Краткое содержание книги "Приглашение в теорию чисел"
Книга известного норвежского математика О. Оре раскрывает красоту математики на примере одного из ее старейших разделов — теории чисел. Изложение основ теории чисел в книге во многом нетрадиционно. Наряду с теорией сравнении, сведениями о системах счисления, в ней содержатся рассказы о магических квадратах, о решении арифметических ребусов и т. д. Большим достоинством книги является то, что автор при каждом удобном случае указывает на возможности практического применения изложенных результатов, а также знакомит читателя с современным состоянием теории чисел и задачами, ещё не получившими окончательного решения.
Читаем онлайн "Приглашение в теорию чисел". [Страница - 3]
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя (38) »
Любое целое число, которое является произведением двух целых чисел, можно было бы назвать прямоугольным числом. Когда две стороны прямоугольника имеют одну и ту же длину, то такое число является квадратным числом, или квадратом. Некоторые числа нельзя представлять в виде прямоугольных чисел иначе, как тривиальным способом — в виде цепочки точек, лежащих в одном ряду. Например, пять может быть представлено как прямоугольное число лишь единственным способом, взяв одну сторону равной единице, а другую — пяти (рис. 3).
• • • • •
Рис. 3.
Такие числа греки называли простыми числами. Точка, взятая в одном экземпляре, не рассматривалась как число. Число 1 явилось тем кирпичом, из которого строились все остальные числа. Таким образом, 1 не была для них и не считается сейчас простым числом.
Можно было бы рассматривать точки, равномерно заполняющие не только прямоугольники и квадраты, но и другие геометрические фигуры. Последовательные треугольные числа изображены на рис. 4.
Рис. 4.
В общем случае n-е треугольное число задается формулой
Тn = ½ n (n+1), n = 1, 2, 3… (1.4.1)
У этих чисел масса интересных свойств: например, сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратом
1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16 и т. д. (1.4.2)
Обобщением треугольных чисел и квадратов явились многоугольные числа. Метод их получения проиллюстрируем на примере пятиугольных чисел. Для этого рассмотрим рис. 5.
Рис. 5.
Глядя на него, легко найти несколько первых пятиугольных чисел,
1, 5, 12, 22, 35. (1.4.3)
Можно показать, что n-е пятиугольное число выражается формулой
pn = ½ (3n2 — n). (1.4.4)
Шестиугольные числа, и вообще k-угольные числа, аналогично определяются с помощью правильного k-угольника, и мы не будем больше тратить времени на их обсуждение. Фигурные числа, особенно треугольные, пользовались большой популярностью при изучении чисел в конце эпохи Возрождения, после того как греческая теория чисел проникла в Западную Европу. И сейчас их можно иногда встретить в статьях по теории чисел.
Проводя анализ такого геометрического представления чисел, можно получить несколько простых соотношений. Остановимся лишь на одном примере. Уже давно было известно, что складывая последовательно нечетные числа, мы все время будем получать квадраты, например,
1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и т. д.
Чтобы доказать это соотношение, достаточно лишь взглянуть на рис. 6, на котором изображены последовательно вложенные квадраты.
Рис. 6.
Система задач 1.4.
1. Докажите по индукции общую формулу (1.4.1) для треугольных чисел.
2. Докажите формулу (1.4.4) для пятиугольных чисел.
3. Докажите, что произвольное k-угольное число выражается формулой
½ k (n2 - n) — n2 + 2n.
§ 5. Магические квадраты
Если вы играли в «шафлборд»[1], вы можете вспомнить, что девять квадратов, на которых вы размещаете свои фишки, занумерованы числами от 1 до 9, расположенными так, как на рис. 7. Здесь числа в каждом столбце и в каждой строчке, а также в каждой из диагоналей, дают при сложении одно и то же число 15.Рис. 7.
В общем случае магическим квадратом является расположение чисел от 1 до n2 в виде квадрата так, что числа в каждом столбце, строчке и --">
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя (38) »
Книги схожие с «Приглашение в теорию чисел» по жанру, серии, автору или названию:
Владимир Артурович Левшин, Эмилия Борисовна Александрова - Стол находок утерянных чисел Жанр: Детская образовательная литература Год издания: 1988 |
Яков Исидорович Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел] Жанр: Детская образовательная литература Год издания: 1954 |
Иван Матвеевич Виноградов - Основы теории чисел: Учебное пособие Жанр: Математика Год издания: 2006 Серия: Учебники для вузов. Специальная литература |
А. А. Бухштаб - Теория чисел. Учебное пособие Жанр: Математика Год издания: 2015 Серия: Учебники для вузов. Специальная литература |
Другие книги из серии «Библиотечка Квант»:
Георгий Антонович Гамов (Джордж Гамов) - Приключения Мистера Томпкинса Жанр: Физика Год издания: 1993 Серия: Библиотечка Квант |
Владимир Сергеевич Гетман - Внуки Солнца Жанр: Научная литература Год издания: 1989 Серия: Библиотечка Квант |
О Оре - Приглашение в теорию чисел Жанр: Математика Год издания: 1980 Серия: Библиотечка Квант |
Льюис Кэрролл - Логическая игра Жанр: Математика Год издания: 1991 Серия: Библиотечка Квант |