Игорь Борисович Петров - Вычислительная математика для физиков

1

УДК 519.63 (075.8)
ББК 22.19я73
П 30
П е т р о в И. Б. Вычислительная математика для физиков.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 376 с. — ISBN 978-5-9221-1887-3.

—

Рассматриваются вычислительные методы решения задач физики (в частности, механики, в том числе механики сплошных сред), а также различных прикладных задач. В книгу включены элементы функционального анализа, методы
точных решений разностных уравнений, вопросы теоретического минимума
по вычислительной математике для физиков и задачи для вычислительного
практикума.
Для студентов университетов (факультетов физико-математического профиля) и технических вузов.

c ФИЗМАТЛИТ, 2021


ISBN 978-5-9221-1887-3

c И. Б. Петров, 2021


2 / 35

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Г л а в а 1. Введение в предмет вычислительной математики
9
1.1. Из истории вычислительной математики. . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Вычислительный эксперимент. Высокопроизводительные
вычисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Особенности вычислительной математики. . . . . . . . . . . . 18
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Г л а в а 2. Необходимые сведения из функционального анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Примеры метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Примеры линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Линейные нормированные пространства . . . . . . . . . . . . .
2.6. Банаховы и гильбертовы пространства . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Операторы в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . . .
2.9. Операторные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Производные Гато и Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Корректность задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Г л а в а 3. Численные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Число обусловленности СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Обусловленность СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Прямые методы численного решения СЛАУ . . . . . . . . . .
3.4. Метод простых итераций (МПИ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Сходимость итерационного процесса. . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Итерационные вариационные методы последовательных
приближений (итераций) численного решения СЛАУ . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
26
28
29
30
33
34
37
38
39
40
41
42
42
45
47
51
53
58
62

Г л а в а 4. Приближение функций (аппроксимация функций
в функциональных пространствах). Метод наименьших
квадратов (МНК) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. Существование и единственность полинома наилучшего
приближения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 / 35

4

Оглавление

4.3. Сходимость полинома наилучшего приближения. . .
4.4. Полиномы Бернштейна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Аппроксимация тригонометрическими полиномами .
4.6. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

69
70
72
72
78

Г л а в а 5. Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Неподвижная точка отображения, сжимающий оператор
5.3. Метод простых итераций (МПИ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79
79
80
82
85
93

Г л а в а 6. Методы интерполяции функций . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Интерполяционный полином в форме Лагранжа . . . . . . .
6.3. Интерполяционный полином в форме Ньютона . . . . . . . .
6.4. Конечные разности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Погрешность интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Минимизация погрешности интерполяционного процесса
6.7. Сходимость интерполяционного процесса . . . . . . . . . . . .
6.8. Другие виды интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9. Многомерная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10. Интерполяция с кратными узлами . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11. Кусочно-полиномиальная сплайн-интерполяция. . . . . . . .
6.12. B-сплайны . . . . --">