Натан Яковлевич Эйдельман , Галина Борисовна Башкирова , Даниил Семенович Данин , Лилиана Сергеевна Розанова , Александр Шаров (Шер Израилевич Нюренберг) , Даниил Александрович Гранин , Раиса Львовна Берг , В. Шевченко , Аркадий Бейнусович Мигдал - Пути в незнаемое

настолько странные, что и не расскажешь о них иначе, чем в терминах: «замкнутость», «близость», «связность».

На поверхность нашего обыденного опыта они выходят удивительными свойствами таких фигур, как, скажем, лента Мёбиуса. Это обычная плоская лента, концы которой перед склеиванием поворачивают на 180 градусов. Но достаточно произвести эти простые операции, чтобы получить объект, как будто специально предназначенный для математических фокусов.

Но попробуйте с помощью линейки зафиксировать отличие ленты Мёбиуса от кольца! Не помогут тут и проективные преобразования: и ленту, и кольцо всегда можно спроектировать так, что проекции будут неразличимы. Приходится вводить специальное понятие «ориентированности» и думать над тем, зачем ее выдумала природа. Ведь раньше оно считалось качественным, не подлежащим исследованию.

Длительное время казалось, что наука навсегда связала себя с поиском числа — измерением. Оказывается, это не так. В мире есть формы порядка, глубоко чуждые числовому; и все же они доступны точному анализу — это доказывает топология. И они важнее числового. В частности, потому, что вопрос «как понять?» здесь уже не подменишь привычным «как измерить?».

«Я мог бы замкнуться в ореховой скорлупе и считать себя властелином бесконечного пространства… — признавался принц Датский. — Если бы мне не снились дурные сны». Но беспокойные сны нетрудно перенести. А вот когда, по слову того же Гамлета, «рвется связь времен» — это уже трагедия.

И принц прав. Если бы вселенная сжалась до размеров грецкого ореха или ускорила все свои процессы в произвольное число раз, то никакими измерениями этого не удалось бы обнаружить. Оставалось бы положиться разве что на свои сны.

Но допустим, что где-то в пространственных или временных связях нашего мира нарушилось топологическое свойство непрерывности: в окрестностях «здесь» или «теперь» затаились разрывы. Тогда такие путешествия во времени, как появление в «Гамлете» Призрака на крепостной стене, вошли бы и дурную привычку. В пространстве тоже случались бы невероятные вещи, подобные, скажем, происшествию с гоголевским майором Ковалевым. Вообразите себе только ваше неудовольствие, когда, просыпаясь, вы обнаруживаете на месте носа в «окрестностях» щек совершенно гладкое место! Ясно, что мир, в котором призраки гуляют по стенам, а носы исчезают и возникают беспричинно, не заслуживает доверия.

Наивысшую степень инвариантности вещей, пространств, времен гарантирует нам топология. И потому мы вместе с принцем Датским и майором Ковалевым оцениваем топологический порядок выше, чем числовой.

Во всем множестве приключений, которые могут случиться с вещью в любом из миров, известных науке, наибольшую «выживаемость» обнаруживают топологические структуры. Они характеризуют объект с наиболее глубокой стороны и поэтому по праву считаются самыми фундаментальными. Да и логически они первичны: все теоремы, доказанные в топологической геометрии, автоматически справедливы и для проекционной и для евклидовой. Исторически же построение математики продвигалось от открытия и изучения метрических и — далее — проекционных структур к топологическим.

Однако простые опыты, которые вы можете провести с ребенком, обнаружат весьма странную вещь. Впрочем, эти опыты уже провел швейцарский психолог Жан Пиаже. И показал, что становление геометрических структур у ребенка полностью отвечает логическому строению математики и, напротив, противостоит ее историческому развитию.

Как только в каракулях ребенка начинает проглядывать какой-то смысл (3–4 года), он чутко реагирует именно на топологические признаки вещей. Например, он легко отделит замкнутую фигуру от открытой («замкнутость»), предмет с отверстием — от сплошного предмета («связность»). Но только через несколько лет он заметит различия между прямолинейными и криволинейными фигурами, то есть отреагирует на метрику пространства.

А что происходит в школах? Во всех странах мира геометрию начинают изучать приблизительно в 11 лет. Начинают сразу с измерений (метрической, евклидовой геометрии), а заканчивают основами топологии в университетах. Стихийно сложилось так, что фазы обучения повторяют исторический путь создания математики, но зато они вступают в противоречие с естественными способностями человека. Традиционное академическое обучение не только не извлекает --">