Коллектив авторов - Краткий справочник для инженеров и студентов: Высшая математика. Физика. Теоретическая механика. Сопротивление материалов

ch x — —---- — J shp 2 x dx.

► Интегралы, содержащие ch x.
208.

У ch(a +- bx) dx = ^ sh(a + bx).

209.

У x ch x dx = x sh x — ch x.

210.

У x2 chx dx = (x2 +- 2) shx — 2x chx.

405

406

Решения

211.

У imchrdx = xmsha; - mi”1"1 cha; 4- т(т ~ ^ j хт~2 chxdx.

212.

! ch2 х dx = ±х + ^ sh2x.

213.

У ch3 da; = sh а; 4- -|- sh3 x.

214.

У chp xdx = — shi chp-1 x 4- —------ У chp-2 x dx.

обыкновенных дифференциальных уравнений

> Интегралы, содержащие thx и cth ж.
215.

У tha; dx = In | chr|.

216.

j th2 x dx = x — thx.

217.

У th3 a; da; =-у th2 a; 4-In | ch a;|.

218.

j thp xdx =-—^-ЬЬР~1 x + Jthp~2xdx.

219.

У cth dx = ln|sha;|.

220.

У cth2 x dx = x — cth x.

221.

У cth3 x dx = — у cth2 x 4- In | sha;|.

222.

Jcthpxdx =

^-y cth1’'"1 a; 4- Jcthp~2xdx.

3. Решения обыкновенных
дифференциальных уравнений
3.1. Уравнения первого порядка*
1- у'х = /О)Решение:

у = ^ /(г) dx + С.

2- Ух = f(y)Решение:

Г dy
х = I —-— 4- СJ

Ну)

Частные решения: у = Ак, где Ак — корни алгебраического (или трансцен­
дентного) уравнения f(Ak) = 0.

* В этом приложении приведены решения обыкновенных дифференциальных
уравнений, коэффициенты которых зависят от произвольных функций. Для крат­
кости вместо слов «общее решение* или «общий интеграл* будем писать «реше­
ние».

3.1. Уравнения первого порядка

407

3. у'х = f(x)g(y).
Уравнение с разделяющимися переменными. Решение:

1~тт = Ьи^ + с.
J д(у)
J
Частные решения: у = Ак, где Ак — корни алгебраического (или трансцен­
дентного) уравнения д(Ак) = 0.

4- д(х)у'х = fl(x)y + /о(ж).
Линейное уравнение. Решение:
у = Се'F +, е'F

[ е —F' —
fo(—
x) dx,
j

J

g(z)

АС37-) dx.
>
F(x)\ = /f —
J д(х)

где

5- д(х)Ух = fl(x)y + fo(x)ya.
Уравнение Бернулли. Здесь а — любое (при а = 0 и а = 1 см. линейное
уравнение 4). При а ^ 1 замена w(r) = у1 “° приводит к линейному уравнению:
^i = (1- a)fdx)w + С1 “ а)/ойРешение:

У1"'1 = CeF 4- (1 — a)eF / e~F — ^~ dx,
J
g(z)
J

где
дух)

F(x) = (1 - а) /

^Т"

dx.

6- У^ = f(y/x).
Однородное уравнение. Замена u(x) = y/x приводит к уравнению с
разделяющимися переменными: хих = f(u) — и.
du
——------ = In а; + С.
fw - и

/

Частные решения: у = Акх, где Ак — корни алгебраического (или трансцен­
дентного) уравнения Ак — f(Ak) = O-

7- 9^)ух = f2(x)y2 + fl(x)y 4- fo(x).
Уравнение Риккати.
1. Если известно частное решение уравнения Риккати у0 = З/о^)» то
общее решение находится по формуле

AW
где
Ф(®) = ехр/ /[г/гСФоС®) + AW] —ГТ

L-/
Jl1)
Частному решению j/0(t) соответствует значение С = оо.
2. Преобразование

и(х) = ехр| — / ---- ydx
\
д
приводит общее уравнение Риккати к линейному уравнению второго порядка
92f2uxx + 9[f29x ~ Э^Ух ~

/1/2]“^ + /0/2“ = °'

которое часто решается проще, чем исходное уравнение Риккати.
►

В уравнениях 8 — 17 принятр о бозначение: / = f(x).

8- У = У2 + fy — а2 — af.
Частное решение: у0 = а. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

408 Решения обыкновенных дифференциальных уравнений
9. у = fy2 + ay — ab — b2f.
Частное решение: у0 = Ь. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

10. Ух=у2 + xfy + f.
Частное решение: у0 = — 1/х. Общее решение получается с помощью форму­
лы, приведенной после уравнения 7.

11. ух = fy2 — axkfy + акх*-1.
Частное решение: у0 = ахк. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

12. у^ = fy2 + акх*"1 — a2x2kf.
Частное решение: у0 = ахк. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

13. у'х = -(к + 1)хку2 + хк+*?у - f.
Частное решение: у0 = т"*"1. Общее решение получается с помощью форму­
лы, приведенной после уравнения 7.

14. ху* = fy2 + ку + ax2kf.
Решение при а > 0:

у = >/ахк tg^Va jхк~^ j dx + С^ .

Решение при а < 0:

у = \^\а\хк th (-У)а| j хк-1 f dx + С^.

15- ху'* = x2kfy2 + (axkf — к)у + bf.
Замена z = хк у приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
z^ = xk"’1f(x)(z2 + аг + Ь).

18. Ух = fy2 + ду- a2f - ад.
Частное решение: j/0 = а. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.

17. у'х = fy2 + ду + акхк~г — ахкд — a2fx2k.
Частное решение: у0 = ахк. Общее решение получается с помощью формулы,
приведенной после уравнения 7.
►

В уравнениях 18 — 33 приняты о бозначения: f, д, h — произвольные функ­
ции сложного аргумента, который указан в круглых скобках после знака
функции и может зависеть от обеих переменных х и у.

18- Ух = f(ax + Ьу + с).
При 6 = 0 это уравнение вида 1. При Ь^О замена и(х) = ах + by + с приводит
к уравнению вида 2: и^ = bf(u).

19. Ух = f(y + --">