Петр Путенихин - Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

книги «Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек» [Картинка № 18]">
Рис.2.1. Определение дифференциала площади сферы для нахождения силы притяжения пробного тела внутри сферы

На рисунке видно, что две плоскости, одна из которых – плоскость X0Y, вырезают на сфере "апельсиновую дольку" с углом dμ. На её поверхности, на "кожуре" ещё две плоскости с углом между ними dφ вырезают участок площадью ds. Можно заметить, что все "апельсиновые дольки" равны друг другу и не зависят от собственного угла μ, поэтому мы приняли его равным dμ. Поэтому нам достаточно рассмотреть только одну из них и затем умножить на число этих долек. Число долек определяется в свою очередь от их ширины:

Если взять их ширину бесконечно малой, то число этих долек станет равным бесконечности. Однако их суммарная площадь равна, как видим, полному углу

Напротив, другая сторона дифференциальной площади ds зависит от угла φ дважды – непосредственно, по образующей вдоль дольки и через зависимость ортогональной стороны, образованной углом dμ, зависящей также и от угла φ.

Действительно, как видно на рисунке ширина дольки разная, в зависимости от угла φ. Самая широкая её часть находится в плоскости Z0Y, а вблизи плоскости Z0X ширина дольки сводится к нулю. Зависимость эта от угла φ описывается уравнением R0sinφdμ. Таким образом, площадь дифференциального участка сферы описывается уравнением

С учетом принятого выше условия равенства всех дифференциальных "апельсиновых долек" это уравнение приобретает вид

Для удобства дальнейших рассуждений рассмотрим другой рисунок, менее перегруженный линиями. Этот рисунок мы использовали при вычислении сил, действующих на объект внутри обруча. В данном случае мы будем помнить, что площадь дифференциального участка описывается новым уравнением (2.1)

Рис.2.2. Определение расстояния между дифференциалом площади сферы и пробного тела внутри сферы

Дифференциал силы притяжения между пробным телом m и этим элементарным, дифференциальным участком сферы равна

Мы принимаем, что масса участка определяется неизменной поверхностной плотностью сферы. Поскольку мы приняли, что сфера имеет нулевую толщину, то вместо объёма сразу же указываем площадь. Дифференциал площади мы уже определили (2.1), теперь определим расстояние между объектом и этим участком сферы. Как видно на рисунке, оно описывается уравнением

На рисунке видим соотношения между элементами

Дифференциальный объем сферы массой dM притягивает единичную массу m, находящуюся на удалении r с силой