А. А. Ляшков , Л. К. Куликов , К. Л. Панчук - Начертательная геометрия: Конспект лекций

совпадение;
∩ – пересечение (b ∩ Σ = A – прямая b пересекает плоскость Σ в точке А,
аналогичная запись будет для кривой и поверхности, однако по тексту понятно, о
каких фигурах идет речь);
// – параллельность (b // d – прямая b параллельна прямой d);
⋅/ – скрещиваемость (m ⋅/ n – прямые m и n скрещиваются);
⊥ – перпендикулярность (е ⊥ Σ – прямая е перпендикулярна плоскости Σ);
∈ – принадлежность элемента множества данному множеству (А ∈ b – точка А принадлежит линии b);
⊂ – принадлежность подмножества множеству (n ⊂ Σ – линия принадлежит поверхности);
≠, ∉, ⊄, … – знаки, обозначающие отрицание указанных выше отношений;
→ – отображение ( А → А1 – точка А отображается в точку А1);
⇒ – знак логического следствия;
П1– горизонтальная плоскость проекций (Oxy);
П2– фронтальная плоскость проекций (Oxz);
П3– профильная плоскость проекций (Oyz);
h – горизонталь (прямая, параллельная плоскости П1)
f – фронталь (прямая, параллельная плоскости П2);
p – профильная прямая (прямая, параллельная профильной плоскости П3);
А1, В1, С1, D1, E1 … или 11, 21, 31, 41, 51 … – проекции точек на П1;
А2, В2, С2, D2, E2 … или 12, 22, 32, 42, 52 … – проекции точек на П2;
А3, В3, С3, D3, E3 … или 13, 23, 33, 43, 53 … – проекции точек на П3;
а1, b1, c1, d1, e1, … – проекции прямых или кривых линий на П1;
а2, b2, c2, d2, e2, … – проекции прямых или кривых линий на П2;
а3, b3, c3, d3, e3, … – проекции прямых или кривых линий на П3;
∆1, Φ1, Γ1, Ρ1, Σ1 … – проекции плоскостей и поверхностей на П1;
∆2, Φ2, Γ2, Ρ2, Σ2 … – проекции плоскостей и поверхностей на П2;
∆3, Φ3, Γ3, Ρ3, Σ3 … – проекции плоскостей и поверхностей на П3;
П4, П5, П6, … – новые (дополнительные) плоскости проекций;
x14, x25, … – новые оси (x14 = П1 ∩ П4, x25 = П2 ∩ П5) или x1, x2, x3, …, если
принадлежность осей плоскостям проекций не вызывает сомнений;
– возможные варианты графического обозначения прямого
или
угла на чертеже.

4

1. ОРТОГОНАЛЬНОЕ (ПРЯМОУГОЛЬНОЕ) ПРОЕЦИРОВАНИЕ И
ЕГО СВОЙСТВА
Для обозначения точек будем использовать прописные буквы латинского
алфавита или арабские цифры, для обозначения линий − строчные буквы латинского алфавита, для обозначения поверхностей (плоскостей) − прописные буквы
греческого алфавита. Возможны и другие обозначения, которые будут введены в
дальнейшем.
Возьмем в пространстве произвольную плоскость П1 (плоскость проекций).
Пусть точка А расположена вне этой плоскости (рис. 1.1). Через точку А проведем прямую s, перпендикулярно плоскости проекций П1 (s ⊥ П1). Прямая s называется проецирующей прямой. Найдем точку A1 пересечения прямой s с плоскостью П1. Точка A1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки A на плоскость П1. Процесс получения точки A1 называется ортогональным
или прямоугольным проецированием точки A на плоскость П1.
Если точки расположены на одной проецирующей прямой, то ортогональные
проекции этих точек совпадают (C1 = D1 на рис. 1.1). Такие точки называются
конкурирующими.
Ортогональной проекцией фигуры называется множество ортогональных
проекций всех точек этой фигуры. На рис. 1.1 ортогональной проекцией кривой
m является кривая m1. Для получения m1 необходимо построить проекцию каждой точки линии m. Прямые, проецирующие точки кривой на плоскость, образуют проецирующую поверхность ∆. На рис. 1.1 показано только несколько таких
проецирующих прямых, принадлежащих поверхности ∆.
Рассмотрим основные свойства ортогонального проецирования.
1. Точка проецируется в точку (проекцией точки является точка). Если точка
принадлежит плоскости проекций, то
m
точка и ее проекция совпадают (точка
C
∆
проецируется сама в себя). Это следует
A
s
из определения проецирования.
D
2. Прямая, в общем случае, проецируется в прямую. Прямая, перпенm1
дикулярная плоскости проекций, про- П 1
ецируется в точку.
C 1 =D 1
A1
Линия m1 (рис. 1.1) есть линия пересечения проецирующей поверхности
Рис. 1.1
∆ и плоскости проекций П1. Если вместо кривой m взять прямую, то поверхность ∆ будет плоскостью, а линия m1, как
линия пересечения двух плоскостей, будет прямой линией.
Таким образом, прямая линия, не перпендикулярная плоскости проекций,
проецируется в прямую линию.
Для любой точки прямой, перпендикулярной плоскости проекций, сама эта
прямая и является проецирующей прямой, поэтому проекции всех точек совпадут, т.е. прямая в этом случае проецируется в точку.
5

3. Если точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит --">