Валерий Александрович Гусев , Лариса Николаевна Ерганжиева , Александра Борисовна Пятерикова , Василий Ильич Хорхордин , Ирина Гавриловна Шведова - Геометрия. Профильный уровень. Методическое пособие для 10 класса

C

sin C

⇒ sin2 C = cos B + cos A cos C + cos A + cos B cos C ⇒
⇒ 1 − cos2 C = (cos A + cos B)(1 + cos C) ⇒
⇒ cos A + cos B + cos C = 1.

§ 29. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Теоретический материал этого параграфа является обобщением сведений по тематике двугранного и трехгранного
углов на многомерный случай. Решение задач § 29 служит
основой для последующего изучения свойств выпуклых
многогранников 11 классе.
Упражнения и задачи
1(29.1). Могут ли плоские углы многогранного угла быть
равны: а) 50◦ , 40◦ , 130◦ , 150◦ ; б) 35◦ , 75◦ , 80◦ , 45◦ , 125◦ ;
в) 70◦ , 40◦ , 80◦ ?
О т в е т: а) нет; б) нет; в) да.
2(29.2). Докажите, что если сумма плоских углов многогранного угла равна 180◦ , то все эти плоские углы острые.
Решение. Пусть, например, один из плоских углов многогранного угла не является острым, т. е. какой-либо угол
β > 90◦ . Тогда сумма величин остальных плоских углов не
должна превышать 90◦ , тем самым нарушается свойство 1
многогранных углов.

198

Глава 5. Многогранные углы

3(29.3). Докажите, что каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы остальных плоских углов, опираясь на аналогичное утверждение для трехгранного угла.
Решение. Пусть α1 — один из плоских углов многогранного угла с ребрами AA1 , AA2 , . . ., AAn , α1 = ∠A1AA2 .
Обозначим
остальные
плоские
углы
α2 = ∠A2 AA3 ,
α3 = ∠A3AA4 ,. . . , αn = ∠An AA1 . Рассмотрим трехгранный угол с ребрами AA1 , AA2 , AA3 . По свойству
трехгранного угла, α1 < α2 + ∠A1AA3 . Далее по тому
же свойству ∠A1 AA3 < α3 + ∠A1 AA4 . Продолжая цепочку
неравенств, в итоге придем к ∠A1 AAn−1 < αn−1 + ∠A1AAn .
Но ∠A1 AAn = αn , поэтому α1 < α2 + α3 + . . . + αn .
4(29.4). Докажите, что сумма двугранных углов n-гранного
угла больше (n − 2) 180◦ .
Решение. Пусть имеется n-гранный угол с ребрами
AA1 , AA2 , . . ., AAn .
Возьмем
произвольную
точку M внутри этого угла и построим n-гранный
угол MA1 A2 . . .An , полярный данному. По свойству
полярных углов, A1 + α1 = A2 + α2 = . . . = An + αn = 180◦ .
A1 , A2 , . . ., An — двугранные
углы
исходного
Здесь
угла AA1 A2 . . .An , а α1 , α2 , . . ., αn — плоские углы при
вершине M угла MA1 A2 . . .An . Отметим, что, по
свойству плоских углов, α1 +α2 +. . .+αn --">