Виталий Афанасьевич Жилкин - Численный расчет тонкостенных стержней открытого профиля в MSC Patran-Nastran

основу среднюю линию
сечения. Примем h = 132 мм, b = 57,5 мм.
Для вычисления геометрических характеристик модифицированного сечения воспользуемся возможностями приложения Properties
MSC Patran. Результаты вычислений геометрических характеристик швеллера в MathCAD по
формулам сопротивления материалов и в MSC
Patran приведены в таблице 1.
Так как величины геометрических характеристик, вычисленные в MathCAD и MSC Patran,
близки, то в дальнейшем используются результаты расчета в MSC Patran.
При поперечном плоском изгибе в плоскости наибольшей жесткости (xoz) при приложении нагрузки в центре изгиба максимальные
нормальные напряжения σmax и максимальный
прогиб zmax свободного торца балки равны:

δ(s) – толщина поперечного сечения;
s – дуговая координата.
Решение однородного дифференциального
уравнения (5) в матричной форме имеет вид


(7)
θ ( x ) = Φ ⋅ θ ( 0) ,
где
 Φ1
 ′
Φ
Φ = 1
 Φ1′′

 Φ1′′′

Φ2
Φ′2
Φ′′2
Φ′′′2

Φ3
Φ′3
Φ′′3
Φ′′′3

Φ4 

Φ′4 
,
Φ′′4 

Φ′′′4 

Фi (i = 1, 2, 3, 4) – нормальные фундаментальные функции;
Ф1(x) = 1; Ф2(x) = x; Ф3(x) = ch(βx) – 1;
Ф4(x) = sh(βx) – βx.
Частное решение:
∗
Φ=
( x)

x

1
Φ4 ( x − ξ) m (ξ) d ξ .
EJ ω 0

∫

(8)

При отсутствии распределенной нагрузки
Φ∗ ( x ) ≡ 0 .
При изгибе и кручении тонкостенного
стержня с постоянными параметрами упругости нормальные напряжения определяются по
формуле
N
My
M
d 2θ 
=
σ E + z
− y z − 2 ω
F
Jy
J z dx 

или, вводя понятие бимомента
M ω=

∫ σωdF ,
F

σ=

My
M
M
N
+z
− y z +ω ω .
F
Jy
Jz
Jω

(9)

Здесь оси x и y являются главными осями
инерции.

Таблица 1
Сопротивление
материалов, MathCAD
F = 1,58·103
Площадь, мм2
4
Осевой момент инерции, мм
Jx = 4,971·106
Геометрическая жесткость на кручение, мм4
Jk = 2,513·104
Центр тяжести поперечного сечения, мм
xЦТ = 19,241
Расстояние от стенки швеллера до центра жесткости, мм
xC = 20,702
Расстояние между центром жесткости и центром тяжести, мм xЦТ + xC = 39,911
Геометрическая характеристика

86

MSC Patran
A = 1580
Jx = 4981307
Jk = 25126,67
xЦТ = 19,20886
xC = 20,701754
39,91061

σ max=

Так как на правом торце балки при x = L
напряжения σ отсутствуют, то

M max_ изг PL h
=
= 8, 432 Н/мм2 (МПа),
Wy
Jy 2
=
zmax

∫

3

PL
= 0,072 мм.
3EJ y

F

σωdF = −

d 2θ
EJ ω = 0 и, следовательно,
d2x

d 2θ
При изгибе в плоскости наибольшей жест(13)
( L) ≡ 0 .
d 2x
кости (xoz), но при приложении нагрузки в центре тяжести поперечного сечения швеллера
Крутящий момент на правом торце балки
балка не только изгибается, но и скручивается. равен Mk = Pe, и, принимая во внимание уравнеЖесткое защемление одного из торцов балки ние (5), получим
препятствует свободному перемещению точек
dθ
d 3θ
сечений, примыкающих к заделке, в резуль(14)
GJ k
L
EJ
L =
Pe .
−
( )
ω
3 ( )
dx
dx
тате чего сечения депланируют. Каждая точка
срединной линии тонкостенного сечения хаОткуда при учете (13), (11) (14), (11) и (12)
рактеризуется теперь не двумя, а тремя коор- после преобразований найдем
динатами: y, z, ω. Если при вычислении сектоB
Pe
.
(15)
риальных характеристик поперечного сечения
A=
− th ( βL ) ; B = −
EJ ω
β
выбраны главная нулевая секториальная точка
По (10) и (15) угол поворота поперечных
(для нее секториальная координата равна нулю)
и центр поворота в центре изгиба, то сектори- сечений определяется выражением
альный момент инерции
Pe
=
θ
{th(βL) ch (βx ) − 1 − sh (βx ) + βx} , (16)
3
2
9
6
β EJ ω
J ω =∫ ω dF =1,74 ⋅ 10 мм
а нормальные напряжения, вызванные стеснен(F )
остается единственной геометрической величи- ным кручением, по формуле
ной, характеризующей сопротивляемость тонPeω sh β ( L − x ) 
костенного стержня искривлениям поперечных
.
(17)
σω ( x ) = 
βJ ω
ch ( βL )
сечений.
Определим угол поворота свободного торПостроим эпюру нормальных напряжеца балки.
ний стесненного кручения σω(0) в опасном сеВ рассматриваемом нами случае при x = 0
чении профиля в MathCAD (рис. 1). Точки с1
и с2 – крайние точки полок швеллера (с1 – нижdθ
няя точка, с2 – верхняя точка); точки с11 и с22 –
θ ( 0) ≡ 0 ,
( 0) ≡ 0
dx
угловые точки швеллера, нижняя и верхняя.
решение (7) дифференциального уравнения (5)
Эпюра суммарных нормальных напряжений
примет вид
в опасном сечении приведена на рисунке 2. Как
следует из приведенного рисунка, максимальные
A
B
,
(10)
суммарные --">