Ричард Филлипс Фейнман - 5b. Электричество и магнетизм

то, что мы называем током I во всем проводе, так что наш интеграл для векторного потенциала (14.19) ста­новится равным

(14.38)

(фиг. 14.10). (Мы предполагаем, что / одно и то же вдоль всего контура. Если есть несколько ответвлений с разными токами, то следует, конечно, брать соответствующий ток в каждой ветви.)

Как и раньше, можно найти поле с помощью (14.38) либо прямым интегрированием, либо решая соответствующую элек­тростатическую задачу.

§ 7. Закон Био— Савара

В ходе изучения электростатики мы нашли, что электриче­ское поле известного распределения зарядов может быть получено сразу в виде интеграла [уравнение (4.16)]

Как мы видели, вычислить этот интеграл (а их на самом деле три, по одному на каждую компоненту) обычно бывает труднее, чем вычислить интеграл для потенциала и взять от него гра­диент.

Подобный интеграл связывает и магнитное поле с токами. Мы уже имеем интеграл для А [уравнение (14.19)]; мы можем получить интеграл и для В, если возьмем ротор от обеих частей:

А теперь мы должны быть осторожны. Оператор ротора озна­чает взятие производных от А(1), т. е. он действует только на координаты (x1, y1, z1). Можно внести оператор СX под ин­теграл, если помнить, что он действует только на переменные со значком 1, которые появляются, конечно, только в

Мы получаем для x-компоненты В:

(14.41)

Величина в скобках есть просто x-компонента от

Такие же результаты получаются и для других компонент, и мы имеем

(14.42)

Интеграл дает В сразу через известные токи. Геометрия здесь точно такая же, какая изображена на фиг. 14.2.

Если токи текут только по тонким проводам, мы можем, как в предыдущем параграфе, немедленно взять интеграл по­перек провода, заменив jdV на Ids, где ds — элемент длины провода. Тогда, пользуясь обозначениями фиг. 14.10, имеем

(14.43)

(Знак минус появляется потому, что мы изменили порядок векторного произведения.) Это уравнение для В называется законом Био — Савара в честь открывших его ученых. Он дает формулу для прямого вычисления магнитного поля, создава­емого проводами с током.

Вероятно, вы удивились: «Какой же прок от векторного по­тенциала, если мы можем сразу найти В в виде векторного ин­теграла? В конце концов А тоже определяется тремя интегра­лами!» Из-за векторного произведения интегралы для В обычно сложнее устроены, как это видно из уравнения (14.41). Кроме того, поскольку интегралы для А похожи на электростатиче­ские, то нам не надо их вычислять заново. Наконец, мы уви­дим, что в более трудных теоретических вопросах, таких, как теория относительности, в современном изложении законов механики, вроде принципа наименьшего действия, о котором будет рассказано позже, в квантовой механике, векторный потенциал играет важную роль.

*Наше определение все еще не полностью задает А. Чтобы задание было единственным, мы должны были бы лто-нибудь сказать о поведении поля А на какой-либо границе или на больших расстояниях. Иногда бывает удобно выбрать, например, поле, спадающее к нулю на больших расстоя­ниях.

--">