Р. М. Минькова - Математическая физика в примерах и задачах

пространстве
Систему элементов x1 , x2 ,..., xn ,... называют ортогональной, если ее элементы попарно ортогональны, т.е.  xi , xk   0 при i  k .
Систему элементов x1 , x2 ,..., xn ,... называют ортонормированной, если она
является ортогональной и ее элементы нормированы, т.е. xk  1  k  1, 2,... .
Бесконечную систему элементов x1 , x2 ,..., xn ,... называют линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.
Примером бесконечной линейно независимой системы является система
функций 1, t , t 2 ,..., t n ,... .
Отметим некоторые свойства ортогональных систем, известные из алгебры.
4

1. Для ортогональных элементов справедлива теорема Пифагора:
2
2
2
2
2
2
2
x y  x  y , x y z  x  y  z .
2. Всякая ортогональная система ненулевых элементов является линейно независимой системой.
3. Всякую линейно независимую систему x1 , x2 , ..., xn , ... можно ортогонализировать, т.е. построить ортогональную систему y1 , y2 , ..., yn , ... следующим образом:
 y1  x1 ,

 y2  x2  a21 y1 ,

 y3  x3  a31 y1  a32 y2 ,


Коэффициент a21 определяется из условия  y2 , y1   0 , коэффициенты a31 , a32
определяются из условий  y3 , y1   0,  y3 , y2   0 и т.д.
Пример 1.2. Ортогонализировать систему функций

x1  t   1, x2  t   t ,

x3  t   t 2 в пространстве L2  0,   ,   e t .

Решение. Построим ортогональную систему функций y1  t  , y2  t  , y3  t  , положив
y1  t   x1  t  ,

y2  t   x2  t   a21 y1  t  ,

y3  t   x3 t   a31 y1 t   a32 y2 t .

Вычислим коэффициенты a21, a31, a32 из условия ортогональности функций


y1  t  , y2  t  , y3  t  , используя свойство гамма-функции:

e

t

 t n d t  Г  n  1  n ! :

0

0   y2 , y1    x2  t   a21 y1  t  , y1  t     x2  t  , y1  t    a21  y1  t  , y1  t   







t

    t  1 d t  a21    1 1 d t   e  t d t  a21  e t d t  1! a21  0!  1  a21
0

 a21  1,

0

0

0

y2  t   x2  t   a21 y1  t   t  1,

0   y3 , y1    x3  a31 y1  a32 y2 , y1    x3 , y1   a31  y1, y1   a32  y2 , y1  



0




  e t  t 2  1 d t  a31  e t  1 1 d t  2! a31  0!  2  a31
0

 a31  1,

0

0   y3 , y2    x3  a31 y1  a32 y2 , y2    x3 , y2   a31  y1, y2   a32  y2 , y2  



0



t

2

  e  t  t  1 d t  a32  e t  t  1 d t  3! 2! a32  2! 2  1! 0!  4  a32  a32  4,
0

2

0

y3  x3  a31 y1  a32 y2  t 2  2  4  t  1  t 2  4 t  2.

Итак, система функций y1  t   1, y2  t   t  1, y3  t   t 2  4 t  2 является ортогональной в пространстве L2  0,   ,   e t .
5

Ряды Фурье по ортогональной системе
Рядом Фурье элемента f по ортогональной системе  1, 2 ,..., n ,... называют


ряд

 ck  k

с коэффициентами Фурье

k 1

ck 

 f , k    f , k 
 k ,  k   k 2

.

(1.1)
1
t



Пример 1.3. Проверить ортогональность системы функций k  t   sin kt 


k 1

в

пространстве L2  , 2  ,   t 2 . Разложить в ряд Фурье по этой системе функцию
1
f t   .
t

Решение. 1. Вычислим в пространстве L2  , 2  ,   t 2 скалярное произведение
2

2

k , n      t   k  t  n  t  dt  






1
2

1
1
t  sin kt  sin nt dt 
t
t

2

2

2

 sin kt  sin nt dt 


1  sin  k  n  t sin  k  n  t  2

0

k n
k n  

 cos  k  n  t  cos  k  n  t  dt  2 





1
t

Так как k ,  n   0 , то система функций k  t   sin kt 


k  n .

k 1

ортогональна в про-

странстве L2  , 2  ,   t 2 .
1
в ряд Фурье по ортогональной системе
t
f , k
f , k

вычислим коэффициенты Фурье ck 
:
2
 k , k
k

2. Для разложения функции f  t  
функций k  t 




2

2

2

1 1

 f , k      t  f  t   k  t  dt   t 2   sin kt dt   sin kt dt  
t t




2



2

k2

k , k      t   t  dt   t


Тогда



f ,  k   0,

ck 
 4
 k , k    k ,

2



1
t

2

2
2

sin kt dt 



k  2n,
k  2n  1



 




k  2n ,
cos kt 2  0,

 2 / k , k  2n  1,
k

1  cos 2 k t
1  sin 2 k t  2 
dt   t 
 .

2
2
2k  
2




и f  t    ck  k  t   
k 1

n0

4
 2n 1  t  .
  2n --">