З. И. Боревич , И. Р. Шафаревич - Теория чисел

< n, a y s Q,

(1)

зависит, конечно, не только от модуля М но и от выбора базисов
«о* и щ. Пусть ©1, . . . , о)п и ц 15 . . . , ц п — другая пара базисов модулей О и М соответственно, и пусть
п

2

ai/a>{,

ПЦ е

Q.

144

'

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ

ФОРМАМИ

[ГЛ. xl

i

Матрица А1 = (fly)

связана с матрицей А соотношением
Л, = CAD,

где С = (c,-j) и D = idij) — целочисленные унимодулярные
рицы, определяемые равенствами:
Щ= 2

C

(2)
мат-

п

iPi,

\Ч = 2

(матрица перехода от одного базиса модуля к другому всегда, как
мы знаем, унимодулярна). Таким образом, с модулем М инвариантно связанными будут только такие выражения от элементов
матрицы А, которые инвариантны при замене А на At по формуле
(2). Полной системой таких инвариантов являются так называемые инвариантные множители рациональной матрицы А. Мы
будем рассматривать простейший из них — абсолютную величину
определителя detA. Его инвариантность очевидна:
= IdetCl • \detA\ • |detZ?l = IdeMl.
О п р е д е л е н и е . Пусть М — полный модуль в К и О — его
кольцо множителей. Абсолютная величина определителя матрицы перехода от базиса кольца О в базису модуля М называется нормой модуля М и обозначается через N{M).
Согласно формуле (12) § 2 Дополнения дискриминанты D =
= D(\Xi, ..., ц„) n A = fi(o)i. ..., соп) базисов ц{ и сог (т. е. дискриминанты модулей М и О, см. п. 5 § 2) связаны между собой со2
отношением Z? = A>(det А) . Введенное понятие нормы позволяет
переписать эту формулу в виде
D=D0N(M)\

(3)

Для модулей, содержащихся в своем кольце множителей, матрица (а„), определенная разложениями (1), очевидно, целочисленна, а потому норма таких модулей является целым числом.
Смысл нормы модуля в этом случае выясняется следующей теоремой.
Т е о р е м а 1. Если полный модуль М содержится в своем
кольце множителей О, то его норма N{M) равна индексу (О : М),
Эта теорема является частным случаем следующего утверждения.
Л е м м а 1. Если Мо — абелева группа без элементов конечного
порядка ранга п, а М — ее подгруппа того же ранга п, то индекс
Шо : М) конечен и равен абсолютной величине определителя матрицы перехода А от какого-нибудь базиса Мо к произвольному
базису М.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а>и ..., со„ — произвольный базис
Мо. Согласно теореме 2 § 2 в подгруппе М существует базис

I в]

•

КЛАССЫ МОДУЛЕЙ

145

T]i, . . . , т]„ в и д а

.. -r clncon,
Т]2 =
•

C22G)2 + . . . + C 2n G) n ,
•

•

•

•

•

•

•

Tin =

•

•

•

«

C n n Ci) n ,

где Су целые рациональные и с,-г>0 ( l ^ i ^ w ) . Очевидно, что
! det-41 не зависит от выбора базисов в Мо и в М, поэтому
...

спп.

Рассмотрим элементы
+ . . . + хпоа„,
(X:Xi< Си, Ki^n
(4)
и покажем, что онп образуют полную систему представителей из
классов смежности группы Мо по подгруппе М. Пусть а =
= ^coi + . . . +апа)п — произвольный элемент из Д/о. Разделим ах
на Си с остатком: а^ = Сц-gi + ху, 0 ^ Xi < Си. Тогда
а

— ^I^I — ^i w i = а 2» 2 + • • • + а'п(оп.
м

ш

Если теперь мы разделим па на с 22 с остатком: flj : = с22
О ^ х2 < с 22 , то будем иметь

Повторяя этот процесс п раз, мы придем в конце концов к равенству
••• -

qnt]n

— XiGJi — . . . — х „ © „ =

О,

в котором q; и Xi целые рациональные, причем 0 < х-, < с,,-. Так
как --">