Николай Михайлович Ершов - Практическое введение в решение дифференциальных уравнений в Python

алгебраические преобразования, вычисления производных и интегралов и т. д. Такая деятельность является
по большому счету чисто механической, поэтому она
относительно легко и эффективно алгоритмизуется и
может быть реализована программно на любом современном языке программирования.
Программные системы, позволяющие пользователю работать с математическими формулами, выполняя над ними те или иные символьные преобразования, называются системами символьных вычислений,
или системами компьютерной алгебры. Первые такие
системы появились еще в 60-х годах прошлого века.
В настоящее время пользователям доступны десятки подобного рода систем — от коммерческих (Maple,
Mathematica) до систем с открытым исходным кодом
(Reduce, Maxima), некоторые из которых способны работать уже и на мобильных устройствах.
Система SymPy, которой и посвящена данная книга,
является по сути обычной библиотекой языка Python.
Такой подход к построению систем символьных вычислений имеет ряд преимуществ. Во-первых, система
оказывается открытой и доступной всем без исключения пользователям. Во-вторых, работа с библиотекой SymPy в среде Jupyter Notebook позволяет проводить символьные вычисления прямо в браузере либо
локально, либо удаленно с помощью какого-нибудь об-

SymPy — библиотека
Python для символьных вычислений
РИС. 1

6
1

При таком сценарии пользователю вообще не нужно устанавливать локально никакое программное обеспечение.

2

Заметим, что автором не ставилась цель дать полное описание библиотеки SymPy. Такая задача, с одной стороны, является просто неподъемной, библиотека SymPy состоит из большого числа модулей, только часть из которых посвящена решению дифференциальных уравнений. Кроме того, данная библиотека все
еще активно развивается, ее функционал постоянно расширяется и
модифицируется. Более полную и
актуальную информацию по работе с библиотекой SymPy читателю рекомендуется находить либо на официальном сайте библиотеки https://www.sympy.org, либо на профильных ресурсах в сети Интернет, например на сайте
https://stackoverflow.com.

Введение

лачного сервиса1 , например Google Colab. В-третьих,
символьные вычисления в рамках данной библиотеки оказываются интегрированными в обычную программу на языке Python, при этом пользователю системы оказывается доступным весь функционал языка Python, а также вся его инфраструктура в виде бесчисленного набора разнообразнейших пакетов и библиотек.
Предлагаемая читателю книга устроена достаточно просто. Каждая ее глава посвящена рассмотрению
одной прикладной модели из физики, химии, биологии и т. д. После теоретического рассмотрения модели и вывода соответствующего ей дифференциального уравнения максимально детально описывается процесс формализации модели и решения возникающих
в ней дифференциальных уравнений с помощью библиотеки SymPy2 . Каждая глава сопровождается набором упражнений как технического характера — посчитать интеграл, решить уравнение, построить график,
так и исследовательского — построить и исследовать
по описанной схеме аналогичную модель.
Автор с благодарностью примет все конструктивные отзывы, комментарии и замечания относительно структуры и содержания настоящего издания, которые читатель может оставить или в телеграм-чате
https://t.me/odesinsympy, или прислать автору на электронную почту по адресу ershovnm@gmail.com.

ГЛАВА

1

Вращение жидкости
y
https://t.me/it_boooks

ω

Задача • В сосуд, имеющий форму прямого кру-

гового цилиндра, налита жидкость, например вода.
Сосуд вращается с постоянной угловой скоростью ω
относительно оси цилиндра (рис. 1). Требуется определить, какую форму примет поверхность жидкости,
если вращение продолжается достаточно долго1 . При
построении модели мы будем предполагать, что сосуд
достаточно широкий и глубокий, это позволит пренебречь разными поверхностными эффектами около боковых стенок сосуда.
Очевидно, что искомая поверхность должна быть
поверхностью вращения. Поэтому для нахождения ее
формы достаточно рассмотреть осевое сечение нашего сосуда и найти форму соответствующей кривой, из
которой потом мы сможем сформировать и саму поверхность.
Введем в модель систему координат, как это показано на рис. 1. Ось Oy направим по оси цилиндра,
ось Ox — перпендикулярно оси Oy вдоль основания
цилиндра, начало координат, таким образом, оказывается в центре основания --">