Коллектив авторов - Задачник по высшей математике для вузов

Естественно, что часть простых задач этого сборника была использована при
подготовке настоящего пособия.
Характерной особенностью предлагаемого пособия является возможность его ис
пользования для индивидуальной самостоятельной работы студентов. Циклы не
сложных задач легко трансформируются в индивидуальные типовые домашние за
дания по соответствующим разделам, а также самостоятельные работы текущего
контроля.
Хотя работа по подготовке материала распределялась между авторами по главам,
авторский коллектив в целом несет ответственность за допущенные ошибки, опечат
ки и неточности в изложении. Авторы заранее выражают свою благодарность за все
критические замечания, которые могут возникнуть в процессе использования учебно
методического пособия, а также за указания на замеченные ошибки и неточности.
Теоретический материал набран петитом, начало решений разобранных приме
ров отмечено знаком &, а конец решения — знаком %.
P. S. Когда работа над рукописью этой книги подходила к концу, скоропостиж
но умер ее редактор и соавтор, доктор физ.мат. наук, профессор, заслуженный ра
ботник высшей школы РФ А. С. Поспелов. Светлая память об Алексее Сергеевиче
надолго сохранится в его добрых делах. Авторы уверены, что настоящий Задачник —
одно из таких дел.

ГЛАВА 1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ

§ 1.1.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Определители 2го и 3го порядка
Определителем 2го порядка, соответствующим квадратной матрице 2го поряд

1 a11 a12 2
ка A 3 4
5 (или просто определителем матрицы A), называется число, вы
6 a21 a22 7
числяемое по правилу

det A 1

a11 a12
1 a11a22 2 a21a12.
a21 a22

(1.1)

Числа a11, a12, a21, a22, составляющие матрицу данного определителя, называют
элементами этого определителя. Таким образом, определитель 2го порядка равен
произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побоч
ной диагонали.
1 a11 a12
Аналогично, если A 5 3 a21 a22
3
3a
6 31 a32

a13 2
a23 44 — квадратная матрица 3го порядка, то со
a33 47

ответствующим ей определителем 3го порядка называется число, вычисляемое по
правилу Саррюса
a11 a12
det A 1 a21 a22
a31 a32

a13
a23 1
a33

1 a11a22a33 2 a12a23a31 2 a13a21a32 3 a13a22a31 3 a12a21a33 3 a11a23a32.

(1.2)

Таким образом, каждый член определителя 3го порядка представляет собой
произведение трех его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого
столбца. При этом три произведения берутся со знаком плюс, если их образуют
либо элементы главной диагонали, либо элементы, расположенные в вершинах тре
угольников с основаниями, параллельными главной диагонали, и три со знаком ми
нус, если их образуют элементы, расположенные аналогично относительно побоч
ной диагонали.

5

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

3 2 1
ПРИМЕР 1.1. Вычислить определитель 2 5 3 .
3 4 2

& В соответствии с определением определителя 3#го порядка (формула (1.2)) по#
лучаем
3 2 1
2 5 3 1 3 2 5 2 2 3 2 2 3 2 3 3 1 2 2 2 4 4 1 2 5 2 3 4 2 2 2 2 2 4 3 2 3 2 4 1 43. 1
3 4 2

В задачах 1.1–1.4 вычислить определители 2#го порядка.

1.1.

2 1
sin 1 cos 1
sin 1 cos 1
1 23 4 25
. 1.2.
. 1.3.
. 1.4.
.
61 2
6 cos 1 sin 1
4 65 1 63
sin 3 cos 3

В задачах 1.5–1.8 вычислить определители 3#го порядка.
1 2 3
3 2 1
1 1 1
a b c
1.5. 4 5 6 . 1.6. 2 5 3 . 1.7. 1 2 3 . 1.8. c a b .
7 8 9
3 4 2
1 3 6
b c a

1.9. Доказать следующие свойства определителя 3#го порядка, исполь#
зуя его определение:
а) Определитель не изменится, если строки (столбцы) матрицы опреде#
лителя сделать столбцами (строками) с теми же номерами (т. е. транспони#
ровать матрицу).
б) Если все элементы какой#либо строки (столбца) матрицы определителя
умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
в) Если переставить две строки (столбца) матрицы определителя, то опре#
делитель изменит знак; в частности, если две строки (столбца) матрицы оп#
ределителя равны, то он равен нулю.
г) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) матрицы определи#
теля представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сум#
ме двух определителей, у которых все строки (столбцы) его матрицы, кроме
данной, прежние, а в данной строке (столбце) в матрице первого определите#
ля стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.
д) Если одна строка (столбец) матрицы определителя является линейной
комбинацией остальных строк (столбцов), то определитель равен нулю.
В задачах 1.10–1.11 доказать тождества, используя свойства --">