Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

= 0 при подстановке в левую и правую часть дадут одно и то же число, а именно 0. Если мы подставим x = –1 и y = 1, обе части (*) будут равны 1. Другими словами, пары (1, 0) и (–1, 1) являются решениями уравнения. Обратите внимание, что пара (0, 0) не является решением.

Существует бесконечно много решений уравнения, например x = 0,70711… и y = –0,41401… Если мы подставим эти числа в формулу, обе части будут равны –0,03548…

Бесконечное множество решений этого уравнения можно изобразить с помощью графика, если нанести на плоскость точки с координатами (x, y), где оба числа удовлетворяют уравнению (*). В этом случае мы получим изображение кривой в виде сердца, нарисованной на обложке.

Вы еще не полюбили математику? Когда дочитаете книгу, непременно полюбите.

Благодарности

Я хочу поблагодарить тех, кто давал плодотворные отзывы и полезные комментарии во время работы над книгой: Мордехая Леви-Эйчел, Джошуа Минкина, Йони Надив, Эми Шейнерман, Дэниела Шейнермана, Иону Шейнермана, Леонору Шейнерман, Наоми Шейнерман и Рейчел Шейнерман. Они читали черновик книги и давали полезные советы^[6].

При подготовке книги к печати я получил замечательные отзывы рецензентов. О многих из этих людей я не знаю ничего, но имена некоторых, к счастью, мне известны. Спасибо за комментарии и энтузиазм Кристофу Бёрджерсу, Анне Лачовски и Джаядеву Атрейя.

Также я хочу поблагодарить Арта Беньямина за информацию о техасском холдеме в главе 19. Этот пример можно найти в задаче из книги Стюарта Айзера «Доктрина шансов: вероятностные аспекты азартных игр» (The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects Of Gambling).

Наконец, огромное спасибо за помощь издательству Йельского университета. Прежде всего – Джо Каламиа за его энтузиазм, множество полезных рекомендаций и ответы на мои непрерывные вопросы. Также я благодарю Энн-Мэри Имборнони за помощь при подготовке финальной версии, Лиз Кейси за дотошную редактуру, Соню Шэннон за дизайн, а Томаса Старра за великолепную обложку.

Прелюдия: теорема и доказательство

«Краса есть правда, правда – красота»,

Земным одно лишь это надо знать^[7].

Джон Китс. Ода к греческой вазе

Красота – это первый критерий: в мире не найдется места для уродливой математики.

Г. Х. Харди. Апология математика

Что мы имеем в виду, когда говорим о чем-либо, что это правда? В науке истина открывается через наблюдения, часто во время эксперимента. Мы знаем, что планеты вращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам – к такому выводу пришел Иоганн Кеплер^[8], дотошно изучив данные, полученные Тихо Браге^[9]. Мы знаем, что скорость света в вакууме – это постоянная величина, – знаем опять-таки на основе повторяющихся непосредственных наблюдений.

На самом деле орбиты планет не совсем эллиптические, потому что притяжение Солнца в данном случае не единственный воздействующий фактор, гравитационные поля планет тоже влияют друг на друга. И мы не знаем наверняка, что скорость света в нашей галактике совпадает со скоростью света, скажем, в галактике Андромеды, потому что мы еще не добрались туда и не поставили необходимые эксперименты.

В науке истина не абсолютна – это цепочка приблизительных суждений, становящихся все более точными. Нам кажется, что Земля плоская, и для большинства повседневных дел это на редкость верное приближение. Однако если мы намерены предпринять путешествие на значительное расстояние от дома, такое приближение становится ошибочным. Гораздо лучше будет считать Землю шарообразной. Эта модель работает прекрасно, пока мы не начинаем путешествовать на куда бо́льшие дистанции, и тогда гораздо лучше считать Землю сфероидом, сплющенным на полюсах: длина экватора немного больше, чем длина линии сечения Земли плоскостью, проходящей через полюса^[10]. Эта геометрическая форма была предсказана теорией и затем подтверждена экспериментальными данными.

В отличие от остальных наук, в математике истина абсолютна. Когда мы утверждаем, что сумма двух нечетных чисел – четное число, мы подразумеваем, что это всегда так, со стопроцентной гарантией. Откуда мы знаем? Дело в том, что мы можем доказать это.

Математическое доказательство приводит к полной уверенности. В других сферах человеческой деятельности тоже используется слово --">