Яков Исидорович Перельман - Одним росчерком

неодинаковым результатам. Некоторые фигуры удается вычерчивать, с какой бы точки ни начинать вести первую линию. Другие вычерчиваются одним росчерком в тех лишь случаях, когда начинают с определенных точек. Наконец, третьи вовсе не поддаются вычерчиванию одной непрерывной линией. Чем обусловлено подобное различие? Существуют ли признаки, позволяющие установить заранее, поддается ли данная фигура вырисовыванию одним росчерком и, если поддается, то с какой точки следует начинать черчение?

Теория дает на эти вопросы исчерпывающие ответы, и мы сейчас познакомимся с некоторыми положениями этой теории.

Условимся называть «четными» те точки фигуры, в которых сходится четное число линий, — в отличие от точек «нечетных», в которых встречается нечетное число линий.

Можно доказать (приводить доказательств не станем), что какова бы ни была фигура, нечетных точек в ней либо нет совсем, либо их имеется 2, 4, 6 — вообще четное число.

Если нечетных точек в фигуре нет, то она всегда поддается вырисовыванию одним росчерком, безразлично, с какого места ни начинать черчение. Таковы фигуры 3 и 7.

Если в фигуре имеется только одна пара нечетных точек, то такую фигуру можно нарисовать одним росчерком, начав черчение в одной из нечетных точек (безразлично, в какой). Легко сообразить, что вычерчивание должно оканчиваться во второй нечетной точке. Таковы фиг. 4, 5, 8: в фигуре 8, например, вычерчивание надо начинать либо из точки А, либо из точки В.

Если фигура имеет более одной пары нечетных точек, то она вовсе не может быть нарисована одним росчерком. Таковы фигуры 6 и 9, содержащие по две пары нечетных точек.

Сказанного достаточно, чтобы безошибочно распознавать, какие фигуры нельзя нарисовать одним росчерком и какие можно, а также, с какой точки надо начинать вычерчивание. Проф. В. Аренс предлагает руководствоваться далее правилом: «Все уже начерченные линии заданной фигуры надо считать отсутствующими и при выборе очередной линии следить за тем, чтобы фигура сохранила цельность (не распалась), если эта линия также будет из‘ята из чертежа».

Положим, например, что вычерчивание фиг. 7 начато по такому пути: ABCD. Если теперь провести линию DА, то останутся недочерченными две фигуры ACF и BDE, которые между собой не связаны (фигура 7 распалась). Тогда, закончив фигуру AFC, мы не сможем перейти к фигуре BDE, так как не будет недочерченных линий, их связывающих. Поэтому, пройдя путь ABCD, нельзя итти дальше по линии DA, а следует сначала обчертить путь DBED, и затем, по оставшейся линии DA, перейти к фигуре AFC.

Еще семь задач

Начертите одним росчерком следующие фигуры:

Мосты Ленинграда

В заключение предлагаем задачу, составляющую сюжет одного из экспонатов математического зала Дома Занимательной Науки. Задача состоит в том, чтобы пройти по 17 мостам, соединяющим участки изображенной здесь территории Ленинграда, не побывав ни на одном мосту два раза. В отличие от Кенигсбергской задачи, требуемый обход на этот раз выполним, и наш читатель достаточно вооружен теперь теоретически, чтобы справиться с задачей самостоятельно.

— ♦ —

Примечания

*

В наше время эту отрасль высшей геометрии принято называть «топологией»; она развилась в обширную математическую науку.

Задачи, предлагаемые в этой книжечке, относятся к области, составляющей лишь небольшую часть науки топологии.

(обратно)
--">