Стивен Кранц - Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

внесли много полезных идей и исправлений. Большое спасибо Эду Данну из Американского математического общества — он предложил тему книги и вдохновил меня на ее написание. И конечно же, я благодарю Сидни Харриса за любезное разрешение использовать его рисунки.

Анна Костант — редактор из издательства Birkhäuser/Springer — как всегда, была очень активна и помогала мне во всем. Это она предложила написать книгу для серии Copernicus, давала замечательные советы и поддерживала в ходе работы над книгой. Другой редактор, Эдвин Бешлер, помог мне отточить и оживить стиль. Давид Крамер — неизменно превосходный корректор. Я горжусь результатом нашей работы. И наконец, я благодарен Рэнди Руден за ее помощь и поддержку во время работы над книгой.

Глава 1. Что такое доказательство и с чем его едят?

The proof of the pudding is in the eating^[5].

— Мигель Сервантес

В математике нет настоящих противоречий.

— Карл Фридрих Гаусс

Логика — это искусство ошибаться, будучи уверенным в своей правоте.

— Джозеф Вудкратч

Чтобы проверить человека, доводы плывут.

— Роберт Браунинг

Ньютон был очень счастливым человеком, ведь Вселенная только одна, а он, Ньютон, смог открыть ее законы.

— Пьер-Симон Лаплас

Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые Бог ниспослал миру и поведал нам на языке математики.

— Иоганн Кеплер

Терьер может не суметь дать определение крысы, но узнает ее, когда увидит.

— А. Е. Хаусман

1.1 Кто такой математик?

Как-то раз я услыхал, как благонамеренная мамаша рассказывала своему малышу, что математик — это человек, который занимается «научной арифметикой». А есть люди, которые полагают, что математик — это тот, кто целыми днями не отрывается от компьютера.

Рис. 1.1. «Я думаю, шаг 2 нужно описать подробнее» (© Sidney Harris, www.sciencecartoonsplus.com)

Нельзя сказать, что такие представления совсем уж неверны, однако они даже близко не подходят к сути такого явления, как математик. Перефразируя слова математика и лингвиста Кита Девлина [DEV1], мы замечаем, что математик — это тот, кто

• наблюдает и интерпретирует явления;

• анализирует научные явления и информацию;

• формулирует концепции;

• обобщает концепции;

• проводит рассуждения по индукции;

• проводит рассуждения по аналогии;

• прибегает к методу проб и ошибок (и оценивает их);

• моделирует идеи и явления;

• формулирует задачи;

• абстрагируется от задач;

• решает задачи;

• пользуется вычислениями, чтобы делать аналитические выводы;

• делает дедуктивные выводы;

• строит догадки;

• доказывает теоремы.

И даже этот список неполон. Математик должен в совершенстве владеть критическим мышлением, анализом, дедуктивной логикой. Эти умения универсальны, они могут применяться в самых разных ситуациях и в самых разных областях знания. В наше время математические умения широко используются в медицине, физике, юриспруденции, коммерции, интернет-дизайне, техническом проектировании, химии, биологии, социальных науках, антропологии, генетике, производстве оружия, криптографии, пластической хирургии, анализе безопасности, обработке данных, компьютерных и многих других науках и практических приложениях.

Одно из поразительных и бурных приложений математики возникло всего каких-то двадцать лет назад — это финансовая математика. Работа Фишера Блэка из Гарварда и Мирона Сколеса из Станфорда привела к первому методу установления цены на опционы. Найденный метод базируется на теории стохастических интегралов — разделе абстрактной теории вероятностей. В результате во всем мире инвестиционные фирмы стали нанимать в штат докторов наук по математике. Когда на --">