Е И Бутиков , Александр Александрович Быков , Александр Сергеевич Кондратьев - Физика в примерах и задачах

системе отсчёта. Положение материальной точки можно определить, если задать её радиус-вектор 𝒓 или, что эквивалентно, три координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 - проекции радиус-вектора на оси декартовой системы координат. Движение математически описано полностью, если известен радиус-вектор как функция времени 𝒓(𝑡), т.е. известны три скалярные функции 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡). Например, для равномерного движения, т.е. движения с постоянной скоростью 𝒗, функция 𝒓(𝑡) имеет вид

𝒓(𝑡)

=

𝒓₀

+

𝒗𝑡

,

(1)

а для равнопеременного движения с ускорением 𝒂

𝒓(𝑡)

=

𝒓₀

+

𝑣₀𝑡

+

𝒂𝑡²

2

.

(2)

В этих формулах 𝒓₀ характеризует начальное положение точки, т.е. 𝒓₀=𝒓(𝑡)|𝑡=0=𝒓(0), 𝒗₀ - начальная скорость.

Подчеркнём, что в кинематике ускорение считается заданным. Ускорение находится либо опытным путём, либо расчётным с помощью законов динамики, когда известны силы, определяющие характер движения. Забегая вперёд, отметим, что уравнение (1) описывает движение материальной точки в инерциальной системе отсчёта, если на точку не действуют силы (или все действующие силы уравновешиваются), а уравнение (2) - если действующие силы постоянны. В последнем случае говорят, что движение тела происходит в постоянном во времени однородном силовом поле. Примером такого поля может служить поле тяготения вблизи поверхности Земли при условии, что высота тела над поверхностью мала по сравнению с радиусом Земли. Разумеется, движение тела вблизи поверхности Земли описывается уравнением (2) только тогда, когда можно не учитывать сопротивление воздуха.

Итак, функция 𝒓(𝑡) содержит полную информацию о кинематике движения тела, т.е. ответ на любой вопрос в кинематических задачах можно получить, используя только зависимость 𝒓(𝑡). Никаких других физических законов при этом привлекать не требуется. Например, зависимость мгновенной скорости точки от времени в однородном поле может быть получена из соотношения (2) дифференцированием радиус-вектора по времени и имеет вид

𝒗(𝑡)

=

𝒗₀

+

𝒂𝑡

.

При решении задач мы будем записывать уравнение (2) непосредственно в проекциях на оси координат. При постоянном ускорении 𝒂 всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы векторное уравнение (2) сводилось к двум скалярным: так как траектория, по которой движется тело, плоская, то нужно просто совместить, например, плоскость 𝑥, 𝑦 с плоскостью, в которой лежит траектория. Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно двум скалярным уравнениям

𝑥(𝑡)

=

𝑥₀

+

𝑣₀

𝑥

𝑡

+

𝑎𝑥𝑡²

2

,

𝑦(𝑡)

=

𝑦₀

+

𝑣₀

𝑦

𝑡

+

𝑎𝑦𝑡²

2

.

(3)

В частности, если рассматривать движение тела вблизи поверхности Земли под действием только силы тяжести, то удобно направить ось 𝑦 вертикально вверх. Тогда вектор ускорения имеет только одну отличную от нуля проекцию: 𝑎𝑥=0, 𝑎𝑦=-𝑔, и система (3) принимает вид

𝑥(𝑡)

=

𝑥₀

+

𝑣₀

𝑥

𝑡

=

𝑥₀

+

𝑣₀

cos φ⋅𝑡

,

𝑦(𝑡)

=

𝑦₀

+

𝑣₀

𝑦

𝑡

-

𝑔𝑡²

2

=

𝑦₀

+

𝑣₀

sin φ⋅𝑡

-

𝑔𝑡²

2

,

(4)

где φ - угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Иногда удобно поместить начало координат в начальную точку траектории, тогда 𝑥₀=𝑦₀=0.