Надежда Анатольевна Шихова - Задачи с экономическим содержанием

уда­
лось вытащить из-под корня дважды:
9=

1 11 054 053
3
1117117 _ 3-3 /13013
9 ~100 \
77
_ 100 V 77 _ 100 V 77
= _9_ 11183 = _ 9 _ ^ g g = 9 4 3 =
100 V 7
100
100
Теперь найдемр :р = 100(д-1) = 100(1,17-1) =17.
Проверка. Это значение соответствует прикидке, ведь
17 1
100

~

6'

О т в е т . 17.А
Слабая стратегия — мучительно делить в столбик
5 270 265 на 3 850 000, получить 1,3689, а потом выковы­
ривать корень из десятичной дроби. Это дольше и чаще при­
водит к вычислительным ошибкам. Совсем плохая страте­
гия — вычислять на калькуляторе: так не подготовишься
к экзамену. Не только в этой ситуации, но и во многих дру­
гих работает эмпирическое правило: если тебе на ум при23

шло считать на калькуляторе или в столбик — найди мно­
жители.
В предыдущих примерах мы познакомились с простей­
шей моделью для вкладов и некоторыми приемами вычисле­
ний. Следующий пример лишь чуть-чуть сложнее, но в нем
в полную силу сыграет основной инструмент — таблица. В
предыдущем примере можно было не запутаться и без него.
Пример 13. 25 ноября 2000 г. Пантелей сделал вклад
в сумме 512 000 д. е. под некоторый постоянный процент
годовых. Через год на вклад были начислены проценты,
и Пантелей тотчас же снял со счета 304 000 д. е. Через год на
оставшуюся сумму были начислены проценты, после чего
Пантелей снял со счета все деньги — 361 000 д. е.
Какой процент банк начислял по вкладу?
Решение.
Прикидка. За два года доход составил примерно
3,6+3-5,1=1,5 сотен тысяч — это примерно 30% от началь­
ной суммы; можно предположить, что годовой процент при­
мерно равен 15.
Обозначения. После начисленияр процентов вклад увели­
чивается в q = 1 + 0,01р раз. В задаче требуется найтир.
Построение модели. Представим движение денег на счете
в таблице:
После начисления
После того,
Год
процентов
как сняли деньги
2001
512 000ц
512 000(7-304 000
2002 (512 000ц-304 000)(7 (512 000(7-304 000)(?-361 000
Получили стандартное квадратное уравнение:
(512 000g-304 000)д-361 000 = 0.
Работа с моделью. Вообще-то квадратные уравнения ре­
шать легко и приятно, но здесь сложный счет. Поэтому мы
не будем вычислять дискриминант — это сложно и бессмыс­
ленно, а только добудем множители, на которые он раскла­
дывается. Все остальные действия отложим на потом (мощ­
ный прием, мы им уже пользовались). Добывать множители
будем мало-помалу: заметили общий множитель, вынесли
за скобки, числа стали поменьше, — заметили новый общий
множитель, вынесли и его, и так далее. Для начала все сла­
гаемые разделим на 1000:
512g2-304g-361=0.
24

D = 3042+ 4 • 512 • 361 = (8 ■38)2+
+ 4 • 16 • 32 • 361 = 82(382+ 32 • 361) =
= 82 • 22(192+ 8 • 361) = 82 ■22 • 192(1 + 8);
L^il
Vl> = 8 2-19 3.
Необязательно добывать все простые множители. Мы
сразу не заметили, что 304 делится на 24 = 16, на это потре­
бовалось два этапа, — ну и ладно, лишь бы считать было
комфортно. Из двух корней выберем положительный:
^ _ 304+8-2-19-3 16-19 + 8-2-19-3
2-512
~
2-16-32
_ 19+19-3 19-4 19
2 -32 _ 2-32“ 16 _1,1875Тогдар =18,75. Пришлось делить 19 на 16 столбиком, но
все остальное можно было сосчитать устно.
Проверка. Значение по порядку похоже на то, что полу­
чено прикидкой. К тому же по дороге все хорошо извлека­
лось и сокращалось. Можно надеяться, что ошибок нет.
Ответ. 18.75.Л
Прежде чем разбирать различные схемы выплаты креди­
тов, рассмотрим пример, иллюстрирующий разницу между
задачами о вкладах и задачами о кредитах.
Пример 14. 31 декабря 2004 года Еремей взял в банке
512 000 р. в кредит на 2 года. Схема выплаты кредита была
следующей: до 31 ноября каждого следующего года банк на­
числял проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличи­
вал долг на р % ), затем до истечения этого же платёжного
периода (т. е. до 31 декабря того же года) Еремей выплачи­
вал долг двумя траншами: 304 000 р. в 2005 году и 361 000 р.
в 2006 г. Под какой процент банк выдал Еремею кредит?
Решение. Обозначим сумму кредита X = 512 000; после
н ач и сл ен и я р процентов долг Еремея увеличивался
в q = 1+0,01р раз. Занесем в таблицу информацию о том, как
менялась величина долга.
Год
Декабрь
Ноябрь
2004
X
Х а -3 0 4 000
2005
Хц
2006
(Хц-304 000W-361 000
(Ха- 304 000) 2Х.
Нас интересует наименьшее целое решение этого нера­
венства относительно N при известных X = 10 и g = 1,1:
(q+ l)N > 2X -X q2;
2 ~ --">