Джон Херст - Краткая история Европы

идет линия. У нее есть длина, но нет ширины. Затем – прямая линия. Она определяется как кратчайшая линия, соединяющая две произвольные точки. Из этих трех определений мы можем вывести определение окружности. В первую очередь окружность – это линия, образующая замкнутую фигуру – круг. Но как определить круг?

Если вдуматься, это не так уж и просто. Для этого мы берем определенную точку, находящуюся внутри фигуры, и утверждаем, что те прямые линии, которые можно провести из этой точки к границам круга, всегда будут иметь одинаковую длину.

Помимо окружностей можно вспомнить параллельные линии, которые никогда не пересекаются, всевозможные треугольники, квадраты, прямоугольники и другие правильные фигуры. Все они представляют собой хорошо описанные математические объекты, состоящие из линий. Известны их основные характеристики, изучены возможности, возникающие при их пересечении или наложении друг на друга. Все это выводится последовательно, шаг за шагом. Например, зная свойства параллельных линий, можно доказать, что сумма углов любого треугольника равняется 180° (см. приложение).

Геометрия – это простая, изящная, логичная система. Она приносит нам радость, она красива. Красива? Да, древние греки считали ее именно красивой, и это – ключ к их мышлению. Они изучали геометрию не как сегодняшние школьники – просто чтобы поупражняться. И не только практические интересы – возможность использовать геометрию в землемерии или судоходстве – руководили ими. Для древних греков геометрия была способом постичь вселенские основы мироздания. Если мы оглянемся вокруг себя, то будем поражены разнообразием, представшим нашему взору: нас обступят разные формы, разные цвета. Великое множество вещей совершается в один и тот же миг – случайно, хаотично. Древние греки верили в то, что всему этому есть некое простое объяснение, что за этим великим разнообразием непременно скрывается нечто простое, правильное, логичное, способное все объяснить. Нечто вроде геометрии.

ПРИЛОЖЕНИЕ «ГЕОМЕТРИЯ В ДЕЙСТВИИ»

Параллельные прямые не пересекаются. Мы можем перефразировать это утверждение, сказав, что прямая, пересекающая параллельные линии, образует накрест лежащие углы, равные друг другу. Если бы они не были равны, то прямые бы встретились или разошлись, то есть не были бы параллельными. Для обозначения углов мы пользуемся буквами греческого алфавита. На рисунке слева греческая буква альфа (а) показывает два равных угла. То, что в геометрии используют символы греческого алфавита, напоминает нам о происхождении этой науки. Здесь мы используем три буквы: альфа (а), бета (в) и гамма (у).

Итак, из нашего определения параллельных прямых мы можем вывести сумму углов любого треугольника. Расположим треугольник ABC (справа) внутри двух параллельных линий и применим главный принцип геометрии: найдем способ использовать известное для нахождения неизвестного. Угол а у точки A равен углу а у точки B, так как они являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых секущей. Точно так же угол γ у точки C равен углу γ у точки B. Верхняя прямая, проходящая через точку B, складывается таким образом из трех углов: α + β + γ. Вместе они образуют прямую линию, а она, как известно, дает угол в 180°.

Таким образом, α + β + γ = 180°. Используя параллельные линии, мы выяснили, что сумма внутренних углов треугольника также равняется α + β + γ. Значит, сумма внутренних углов треугольника равняется 180°.

Для доказательства теоремы, связанной с треугольниками, мы использовали знание о свойствах параллельных линий.

Древние греки не занимались наукой в современном смысле этого слова. Они не выдвигали гипотез, которые затем необходимо было проверять с помощью эксперимента. Они считали, что нужно просто совершить интеллектуальное усилие и хорошенько подумать – и тогда верное решение будет найдено. Иными словами, они действовали по принципу «интуитивного озарения». Один греческий философ сказал, что вся материя состоит из воды (посмотрите, как отчаянно они стремились найти максимально --">